gleichmäßige Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Do 15.04.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie Funktionenfolge [mm] f_{n}(x):= e^{-nx^{n}} [/mm] ,
x [mm] \in [/mm] [0,1] ,n [mm] \in \IN
[/mm]
auf punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz auf dem Intervall [0,1].
Gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x) dx} [/mm] ? |
Hallo,
ich habe mir am Anfang gedacht, falls ich zuerst zeigen möchte, dass die Folge nicht gleichmägig konvergiert, dann zeige ich , dass die Gleichung der Integrale nicht gilt ( denn aus der gleichm. Konvergenz muss die Gleichung erfüllt sein). Jedoch , dann habe ich festgestellt, dass das Integral links entweder nicht leicht zu lösen ist oder sogar gar nicht lösbar ist.
Deshalb habe ich mich dann entschieden, die Gleichmäßigkeit (direkt) zu zeigen.
Meine Vermutung ist, dass die Folge gleichmäßig gegen 1 konvergiert.
Nun bin ich bei der Abschätzung von [mm] |e^{-nx^{n}}-1|=|\bruch{1-e^{nx^{n}}}{e^{nx^{n}}}| [/mm] stecken geblieben. Ich weiß nicht , welche Majorante hier passen würde.
Wie soll man hier weiter vorgehen?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 15.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da die Folge für x=1 gegen 0 konvergiert, für x=0 aber immer 1 ist und [mm] n*x^n [/mm] für x<1 gegen 0konvergirt. kann sie nicht glm. konvergieren, da sie für x gegen 1 immer schlechter gegen 0 geht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Do 15.04.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Wenn die Folge nicht gleichmäßig konvergiert, zeigt man das in diesem Fall , dass die Gleichung der Integrale nicht gilt? Das Problem ist jedoch, dass ich nicht weiß, wie man das Integral links berechnet.
Gruss
Igor
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Hallo!
> Hallo,
> Wenn die Folge nicht gleichmäßig konvergiert, zeigt man
> das in diesem Fall , dass die Gleichung der Integrale nicht
> gilt? Das Problem ist jedoch, dass ich nicht weiß, wie man
> das Integral links berechnet.
Also, zweierlei:
1. Deine Funktionenfolge [mm] $f_{n}(x) [/mm] = [mm] e^{-n*x^{n}}$ [/mm] konvergiert nicht gleichmäßig auf [0,1]. Das erkennt man daran, dass die Grenzfunktion
[mm] $f(x)=\begin{cases}1,\quad \mbox{ falls } 0\le x < 1\\0,\quad \mbox{ falls } x = 1\end{cases}$
[/mm]
unstetig ist.
2. Aus der gleichmäßigen Konvergenz von [mm] f_{n} [/mm] folgt die Gleichung mit den Integralen. Das ist aber keine Äquivalenz - es kann also auch nicht gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen geben, für die die Gleichung mit den Integralen erfüllt ist.
Deswegen nützt dir die Kenntnis, dass [mm] f_{n} [/mm] nicht gleichmäßig konvergent ist, für die Gleichung mit den Integralen erstmal wenig.
Nun ist die Frage, was ihr in der Vorlesung dazu schon behandelt habt. Es gibt beispielsweise den Satz von der "beschränkten Konvergenz":
Konvergiert [mm] $(f_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] punktweise auf [a,b] gegen eine integrierbare (!) Funktion f, und sind die Funktionen [mm] f_{n} [/mm] gleichmäßig beschränkt durch eine auf [a,b] integrierbare Funktion [mm] $g:[a,b]\to \IR$, [/mm] d.h. [mm] $|f_{n}(x)|\le [/mm] g(x), [mm] x\in [/mm] [a,b]$, so gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f_{n}(x)\ [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{b}\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)\ [/mm] dx$.
Das könntest du wahrscheinlich bei dir verwenden.
Grüße,
Stefan
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