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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Untersuche, ob $f : [1, [mm] \infty) \rightarrow \IR$ [/mm] gleichmäßig stetig ist.
$f(x) = [mm] \sqrt{x}$ [/mm] |
Hallo.
Also zu erst muss ich zeigen, dass f(x) stetig ist.
D. h.
1) f(x) muss aner der Stelle [mm] x_0 [/mm] definiert sein. [mm] x_0 [/mm] soll also im Intervall [1, [mm] \infty) [/mm] liegen.
2) Der Grenzwert [mm] \lim_{x\rightarrow x_0} [/mm] f(x) muss existieren und gleich [mm] f(x_0) [/mm] sein
[mm] $f(x_0) [/mm] = [mm] \sqrt{x_0}$
[/mm]
[mm] $\lim_{x\rightarrow x_0} \sqrt{x} [/mm] = [mm] \sqrt{x_0}$
[/mm]
Kann ich nun schon sagen, dass die Funktion gleichm. Stetig ist?
Für gleichmäßige Stetigkeit muss gelten,
[mm] $x_0, x_1 \in [/mm] [1, [mm] \infty)$ [/mm] mit [mm] $|x_0-x_1|<\delta [/mm] und [mm] $|f(x_0) -f_(x_1)|<\varepsilon$ [/mm]
Das Vorgehen ist mir nur mit einem Widerspruchsbeweis bekannt.
[mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \delta [/mm] > 0
Nun soll es ein [mm] \varepsilon_0 [/mm] >0 geben, für das gilt
[mm] $|x_0(\delta)-x_1(\delta)|<\delta$ [/mm] aber [mm] $|f(x_0(\delta))-f(x_1(\delta))| \ge \varepsilon_0$
[/mm]
usw.
Nur ist mir hier überhaupt nicht klar, wie man das anhang von Wurzel x zeigen soll :(
Grüße von
Johann
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Wir wollen zeigen:
[mm]\forall\epsilon\forall x_1, x_2 \exists\delta: |x_0 - x_1| < \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x_1)| < \epsilon[/mm]
D.h. zu jedem Epsilon finde ein Delta und da es gleichmäßig stetig sein soll, muss meine Wahl von Delta NUR vom Epsilon abhängen und nicht von den vorgegebenen [mm] x_0, x_1. [/mm] Das unterscheidet die glm. Stetigkeit von der Stetigkeit.
Vorbetrachtung: [mm]|x_0 - x_1| = |(\sqrt{x_0} - \sqrt{x_1})(\sqrt{x_0} + \sqrt{x_1})|[/mm] (1)
Du gibst mir nun also irgendein [mm] \epsilon, [/mm] und ich muss dir ein Delta geben, so dass für alle [mm] x_1,x_0 \in [1,\infty) [/mm] mit [mm]|x_1 - x_0| < \delta[/mm] gilt: [mm]|f(x_0) - f(x_1)| < \epsilon[/mm].
Ok, ich wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] 2\epsilon [/mm] 
Dann gilt: [mm]|x_0 - x_1| < \delta[/mm]
[mm]\gdw |x_0 - x_1| < 2\epsilon[/mm]
[mm]\gdw |(\sqrt{x_0} - \sqrt{x_1})(\sqrt{x_0} + \sqrt{x_1})| < 2\epsilon[/mm] nach (1)
[mm]\gdw |(\sqrt{x_0} - \sqrt{x_1})| < 2\bruch{\epsilon}{\sqrt{x_0} + \sqrt{x_1}} \le 2\bruch{\epsilon}{1 + 1} = \epsilon[/mm]
[mm]\gdw |(\sqrt{x_0} - \sqrt{x_1})| < \epsilon[/mm]
[mm]\gdw |(f(x_0) - f(x_1)| < \epsilon[/mm]
Gruß,
Gono.
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