gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Was bedeutet gleichmäßige Stetigkeit bzw. punktweise Stetigkeit |
Hallo Leute,
ich weiß, die Frage kann ich eigentlich in jedem Buch / auf tausend Seiten nachlesen - aber ich verstehe es trotzdem nicht. Die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit ist mir theoretisch geläufig, aber sie wirklich umzusetzen ist für mich ein Riesenproblem.
In unserem Skript steht, dass die Wurzelfunktion gleichmäßig stetig ist...aber warum?!? Meiner Meinung nach müsste dann auch eine Parabel gleichmäßig stetig sein?!?
Ich würde mich ehrlich freuen, wenn mir das jemand GANZ EINFACH erklären könnte :-(
Liebe Grüße
Sabine
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Hallo,
also das mit der gleichmäßigen Stetigkeit verhält sich so:
Sei T eine Teilmenge aus [mm] \IR.
[/mm]
Eine Abbildung [mm] f:T\to\IR [/mm] heißt gleichmäßig stetig, genau dann wenn
$ [mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 \forall x,x_{0} \in [/mm] T: [mm] |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|<\epsilon$
[/mm]
Betrachtest du z.B. die Normalparabel [mm] f(x)=x^2 [/mm] dann ist diese nicht gleichmäßig stetig. Denn schaust du Dir den Graphen der Funktion und nimmst dir zwei Stellen [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{1} [/mm] deren Abstand kleiner als [mm] \delta [/mm] ist. Je weiter rechts du diese wählst, desto weiter auseinander gehen die Funktionswerte.
Das widerspricht dann aber oben gegebener Definition von Stetigkeit, denn es geht darum, dass der Abstand zwischen den Funktionswerten IMMER kleiner als [mm] \epsilon [/mm] ist für ein gegebenes [mm] \delta. [/mm] Dies ist nicht gegeben.
Lies mal im wikipedia artikel nach, dort steht im Prinzip dasselbe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit
Lg,
exe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> also das mit der gleichmäßigen Stetigkeit verhält sich
> so:
>
> Sei T eine Teilmenge aus [mm]\IR.[/mm]
>
> Eine Abbildung [mm]f:T\to\IR[/mm] heißt gleichmäßig stetig, genau
> dann wenn
>
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 \forall x,x_{0} \in T: |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|<\epsilon[/mm]
>
>
> Betrachtest du z.B. die Normalparabel [mm]f(x)=x^2[/mm] dann ist
> diese nicht gleichmäßig stetig.
Vorsicht, Vorsicht. Wenn man von gleichmäßiger Stetigkeit redet muß man immer sagen "wo"
[mm]f(x)=x^2[/mm] ist auf [mm] \IR [/mm] nicht glm stetig (das hast Du wohl gemeint)
[mm]f(x)=x^2[/mm] ist aber auf jeder kompakten Teilmenge von [mm] \IR [/mm] stetig
Allgemein gilt. Ist K kompakt, f [mm] \in [/mm] C(K), so ist f auf K glm. stetig
FRED
> Denn schaust du Dir den
> Graphen der Funktion und nimmst dir zwei Stellen [mm]x_{0}[/mm] und
> [mm]x_{1}[/mm] deren Abstand kleiner als [mm]\delta[/mm] ist. Je weiter
> rechts du diese wählst, desto weiter auseinander gehen die
> Funktionswerte.
> Das widerspricht dann aber oben gegebener Definition von
> Stetigkeit, denn es geht darum, dass der Abstand zwischen
> den Funktionswerten IMMER kleiner als [mm]\epsilon[/mm] ist für ein
> gegebenes [mm]\delta.[/mm] Dies ist nicht gegeben.
>
> Lies mal im wikipedia artikel nach, dort steht im Prinzip
> dasselbe:
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> http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit
>
> Lg,
>
> exe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Mi 24.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo fred,
du hast recht, ich korrigiere das. Danke für den Hinweis.
lg
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Danke für eure schnelle Antworten. Ich habe den Wikipedia-Artikel nun auch gründlichst gelesen.
Das heißt jetzt also - nochmal auf die Wurzelfunktion f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] - dass die [mm] \delta [/mm] Umgebung immer größer ist als die dazugehörige [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung und DAS heißt jetzt gleichmäßig stetig. Kann ich das so für mich zusammenfassen?
Liebe Grüße
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Do 25.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Danke für eure schnelle Antworten. Ich habe den
> Wikipedia-Artikel nun auch gründlichst gelesen.
> Das heißt jetzt also - nochmal auf die Wurzelfunktion
> f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm] - dass die [mm]\delta[/mm] Umgebung immer größer
> ist als die dazugehörige [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung und DAS
[mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac12$, [/mm] dann ist Dein [mm] $\delta$ [/mm] auf jeden Fall kleiner.
[mm] $x_0=0$, x=$\delta-\frac1{1000}$, [/mm] jetzt setz mal in die Definition ein.
> heißt jetzt gleichmäßig stetig. Kann ich das so für
> mich zusammenfassen?
Nein. Gleichmäßig stetig heißt salopp gesagt, daß es für das [mm] $\delta$ [/mm] ein worst-case Szenario gibt.
Bei [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] ist das bei der 0. Wenn die [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] Bedingung bei der 0 erfüllt ist, dann ist sie überall sonst auch erfüllt.
Bei [mm] $x^2$ [/mm] (auf [mm] $\IR$) [/mm] gibt's keins. Egal wie winzig klein ich mein [mm] $\delta$ [/mm] für ein gegebenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] wähle, solange ich nur weit genug nach rechts (oder links) gehe, kann ich die [mm] $\varepsilon$ [/mm] Bedingung immer noch sprengen, weil die Funktion immer schneller steigt.
ciao
Stefan
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Bei der punktweisen Stetigkeit musst du an jeder Stelle für jedes [mm] \epsilon [/mm] das passende [mm] \delta [/mm] finden. Dieser "Zusammenhang" kann sich ändern, wenn du die Stelle änderst.
Beispiel: Für [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] wird für [mm] \epsilon=1/1000 [/mm] das [mm] \delta [/mm] immer schmaler, je näher du an x=0 kommst; aber es ist immer eins zu finden.
Bei der gleichmäßigen Stetigkeit musst du für jedes [mm] \epsilon [/mm] ein passendes [mm] \delta [/mm] finden, dass aber nicht von der Stelle, an der du bist, abhängen darf. Es gibt somit ein minimales [mm] \delta>0, [/mm] das zu diesem [mm] \epsilon [/mm] überall funktioniert.
Wieso passt dies bei der Wurzelfunktion, nicht aber bei f(x)=1/x ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Obwohl die Wurzelfunktion - genau wie 1/x - bei Annäherung unendlich steil wird, beruht der Unterschied darauf, dass der "Endpunkt" bei x=0 der Wurzelfunktion im Endlichen, bei 1/x aber im unendlichen liegt (nicht darauf, dass er bei der Wurzelfunktion noch definiert ist, bei 1/x aber nicht). Nimmst du zwei "sehr benachbarte" Werte (bezüglich x) in der Nähe von 0, so wird der Abstand zwischen den entsprechenden Funktionswerten bei 1/x immer größer, bei der Wurzelfunktion aber nicht (höchstens so groß wie der rechte Funktionswert).
Wählen wir z.B. [mm] \epsilon=0,1 [/mm] als Höhendifferenz zwischen zwei Funktionswerten (s. Bild). An der steilsten Stelle, bei x=0 (oder ganz nah daneben, damit wir einen Vergleich mit 1/x haben) sehen wir: Wenn wir maximal um [mm] 0,1^2=0,01 [/mm] nach rechts gehen, weichen wir maximal um [mm] 0,1=\epsilon [/mm] nach oben ab. Sind wir im Graphen weiter rechts, bringt jeder Zuwachs [mm] \Deltax [/mm] = 0,01 weniger als 0,1 = [mm] \epsilon [/mm] Zuwachs an Höhe, und daraus folgt (weil das entsprechend für jedes [mm] \epsilon [/mm] klappt) die glm. Stetigkeit.
Für 1/x kann man aber so ein festes [mm] \delta [/mm] bei Annäherung an 0 nicht finden. Für [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=0,90909... [/mm] ist [mm] y_1=1/x_1=1 [/mm] und [mm] y_2=1/x_2=1,1 [/mm] und damit [mm] \delta=0,090909.. [/mm] und [mm] \epsilon=0,1. [/mm] Geht man mit demselben [mm] \delta [/mm] weiter nach links, z.B. auf 0,5 und 0,409090909, so wird das [mm] \epsilon [/mm] zu 2,4444444444..-2=0,4444..., bei x=0,1 und 0,00909090909..wird [mm] \epsilon [/mm] zu 110-10=100 usw.
Egal, wie schmal man ein beliebiges, aber festes(!) [mm] \delta [/mm] wählt: beim Wandern der beiden x-Werte auf 0 zu wird die Höhendifferenz zwischen beiden Fkt.-Werten so groß, dass sie jedes vorgegebene [mm] \epsilon [/mm] überschreitet. Deshalb hat man hier keine glm. Stetigkeit.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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