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| Aufgabe | Seien für n [mm] \in \IN [/mm] die Funktion [mm] f_{n} \in F(\IR,\IR) [/mm] definiert durch
[mm] f_{n}(x):=\bruch{|x|^{n}}{1+|x|^{n}}.
[/mm]
Zeigen Sie:
(i) Die Folge [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] konvergiert auf [mm] \IR [/mm] nicht gleichmäßg.
(ii) Für jede feste Zahl q>1 konvergiert die Folge [mm] (f_{n}){n \in \IN} [/mm] gleichmäßig auf den Mengen
[mm] \{ x \in \IR : |x| \ge q \} [/mm] und [mm] \{ x \in \IR : |x| \le \bruch{1}{q} \} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Zur (i) habe ich mir folgendes gedacht:
[mm] \bruch{|x|^{n}}{1+|x|^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+ \bruch{1}{|x|^{n}}}
[/mm]
Somit ergibt sich für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|>1 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } |x|=1\\ 0, & \mbox{ für} |x|<0 \end{cases}
[/mm]
Jetzt weiß ich aber irgendwie nicht weiter.
Ist jetzt [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] punktweise konvergent oder nicht und wie mache ich mit der gelichmäßigen konvergenz weitermachen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien für n [mm]\in \IN[/mm] die Funktion [mm]f_{n} \in F(\IR,\IR)[/mm]
> definiert durch
> [mm]f_{n}(x):=\bruch{|x|^{n}}{1+|x|^{n}}.[/mm]
> Zeigen Sie:
> (i) Die Folge [mm](f_{n})_{n \in \IN}[/mm] konvergiert auf [mm]\IR[/mm] nicht
> gleichmäßg.
> (ii) Für jede feste Zahl q>1 konvergiert die Folge
> [mm](f_{n}){n \in \IN}[/mm] gleichmäßig auf den Mengen
> [mm]\{ x \in \IR : |x| \ge q \}[/mm] und [mm]\{ x \in \IR : |x| \le \bruch{1}{q} \}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Zur (i) habe ich mir folgendes gedacht:
>
> [mm]\bruch{|x|^{n}}{1+|x|^{n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+ \bruch{1}{|x|^{n}}}[/mm]
>
> Somit ergibt sich für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|>1 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } |x|=1\\ 0, & \mbox{ für} |x|<0 \end{cases}[/mm]
Du meinst sicher:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|>1 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } |x|=1\\ 0, & \mbox{ für} |x|<1 \end{cases}[/mm].
Wenn ja, so stimmt das.
>
> Jetzt weiß ich aber irgendwie nicht weiter.
> Ist jetzt [mm](f_{n})_{n \in \IN}[/mm] punktweise konvergent oder
> nicht
Natürlich konvergiert [mm] (f_n) [/mm] punktweise und zwar gegen
[mm]f(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } |x|>1 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } |x|=1\\ 0, & \mbox{ für} |x|<1 \end{cases}[/mm].
Das hast Du doch oben berechnet !
> und wie mache ich mit der gelichmäßigen konvergenz
> weitermachen?
Jedes [mm] f_n [/mm] ist auf [mm] \IR [/mm] stetig. Ist f auf [mm] \IR [/mm] stetig ?
FRED
>
> Vielen Dank!
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Muss ich dann
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon
[/mm]
überprüfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Muss ich dann
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon[/mm]
> überprüfen?
Ihr hattet sicher folgenden Satz (schau mal nach):
Konvergiert [mm] (f_n) [/mm] auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig gegen f und sind alle [mm] f_n [/mm] stetig, so ist f stetig.
Damit kann Deine obige Folge auf [mm] \IR [/mm] nicht glm. konvergieren.
Falls Ihr diesen Satz noch nicht hattet, so betrachte:
$ [mm] a_n:= f(1+\bruch{1}{n})-f(1+\bruch{1}{n})$
[/mm]
Edit: es sollte lauten:
$ [mm] a_n:= f_n(1+\bruch{1}{n})-f(1+\bruch{1}{n})$
[/mm]
Wenn [mm] (f_n) [/mm] glm. gegen f konvergieren würde, gegen was muß dann [mm] (a_n) [/mm] konvergieren ? Gegen was konv. [mm] (a_n) [/mm] tatsächlich ?
FRED
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> > Muss ich dann
> > [mm]|f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon[/mm]
> > überprüfen?
>
> Ihr hattet sicher folgenden Satz (schau mal nach):
>
> Konvergiert [mm](f_n)[/mm] auf [mm]\IR[/mm] gleichmäßig gegen f und sind
> alle [mm]f_n[/mm] stetig, so ist f stetig.
>
> Damit kann Deine obige Folge auf [mm]\IR[/mm] nicht glm.
> konvergieren.
>
> Falls Ihr diesen Satz noch nicht hattet, so betrachte:
>
> [mm]a_n:= f(1+\bruch{1}{n})-f(1+\bruch{1}{n})[/mm]
[mm] a_n [/mm] würde ja gegen [mm] f(1)-f(1)=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}=0
[/mm]
jedoch ist doch 1+ [mm] \bruch{1}{n}>1, [/mm] dann würde sich aber doch 1-1 ergeben, was ja ebenfalls 0 gibt, oder?
> Wenn [mm](f_n)[/mm] glm. gegen f konvergieren würde, gegen was muß
> dann [mm](a_n)[/mm] konvergieren ? Gegen was konv. [mm](a_n)[/mm]
> tatsächlich ?
>
> FRED
>
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Acsho, eigentlich müsste [mm] a_n [/mm] gegen f(x) konvergieren, aber es konvergiert gegen 0, war das das, was du meintest?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Acsho, eigentlich müsste [mm]a_n[/mm] gegen f(x) konvergieren, aber
> es konvergiert gegen 0, war das das, was du meintest?
nein , ganz und gar nicht !
Ich habe mich oben vertippt. Es sollte lauten:
$ [mm] a_n:= f_n(1+\bruch{1}{n})-f(1+\bruch{1}{n})$
[/mm]
Berechne nun lim [mm] a_n.
[/mm]
Falls [mm] f_n [/mm] glm. gegen f konvergiert, so müßte [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge sein. Ist das der Fall ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Muss ich dann
> > > [mm]|f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon[/mm]
> > > überprüfen?
> >
> > Ihr hattet sicher folgenden Satz (schau mal nach):
> >
> > Konvergiert [mm](f_n)[/mm] auf [mm]\IR[/mm] gleichmäßig gegen f und sind
> > alle [mm]f_n[/mm] stetig, so ist f stetig.
> >
> > Damit kann Deine obige Folge auf [mm]\IR[/mm] nicht glm.
> > konvergieren.
> >
> > Falls Ihr diesen Satz noch nicht hattet, so betrachte:
> >
> > [mm]a_n:= f(1+\bruch{1}{n})-f(1+\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]a_n[/mm] würde ja gegen [mm]f(1)-f(1)=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}=0[/mm]
> jedoch ist doch 1+ [mm]\bruch{1}{n}>1,[/mm] dann würde sich aber
> doch 1-1 ergeben, was ja ebenfalls 0 gibt, oder?
Pardon. Oben hatte ich mich vertippt. Es vsollte lauten:
$ [mm] a_n:= f_n(1+\bruch{1}{n})-f(1+\bruch{1}{n})$
[/mm]
FRED
>
> > Wenn [mm](f_n)[/mm] glm. gegen f konvergieren würde, gegen was muß
> > dann [mm](a_n)[/mm] konvergieren ? Gegen was konv. [mm](a_n)[/mm]
> > tatsächlich ?
> >
> > FRED
> >
>
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Okay, also dann hätte ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f_{n}(1+ \bruch{1}{n})-f(1+ \bruch{1}{n}))=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2} [/mm] und somit ist [mm] a_n [/mm] keine Nullfolge?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay, also dann hätte ich:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(f_{n}(1+ \bruch{1}{n})-f(1+ \bruch{1}{n}))=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
nein.
Es ist
$ [mm] f_{n}(1+1/n)=\bruch{|1+1/n|^{n}}{1+|1+1/n|^{n}} [/mm] -f(1+1/n)= [mm] \bruch{(1+1/n)^{n}}{1+(1+1/n)^{n}} \to \bruch{e}{1+e}$
[/mm]
> und somit ist [mm]a_n[/mm] keine Nullfolge?!
Ja.
FRED
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> > Okay, also dann hätte ich:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(f_{n}(1+ \bruch{1}{n})-f(1+ \bruch{1}{n}))=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
> nein.
>
> Es ist
> [mm]f_{n}(1+1/n)=\bruch{|1+1/n|^{n}}{1+|1+1/n|^{n}} -f(1+1/n)= \bruch{(1+1/n)^{n}}{1+(1+1/n)^{n}} \to \bruch{e}{1+e}[/mm]
>
Okay, aber das [mm] -f(1+\bruch{1}{n}) [/mm] hat hier ja gar keinen Einfluss, du hast bei der Rechnung nichts abgezogen von [mm] \bruch{|1+1/n|^{n}}{1+|1+1/n|^{n}}? [/mm]
Wir haben das in den Vorlesungen irgendwie immer anders gemacht, mit einem [mm] n_0 [/mm] in abhängigkeit von [mm] \epsilon [/mm] und x (wenn nicht gleichmäßig konvergent)
>
> > und somit ist [mm]a_n[/mm] keine Nullfolge?!
>
> Ja.
>
> FRED
>
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kann ich vielleicht mit dem linksseitigen und rechtseitigen grenzwerz bei |x|=1 argumentieren und so sagen, dass f in x0=1 und x0=-1 nicht stetig ist und somit fn nicht gelichmäßig konvergent ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> kann ich vielleicht mit dem linksseitigen und rechtseitigen
> grenzwerz bei |x|=1 argumentieren und so sagen, dass f in
> x0=1 und x0=-1 nicht stetig ist und somit fn nicht
> gelichmäßig konvergent ist?
warum willst Du mit mehr argumentieren, als Du brauchst. Aber ja, das geht natürlich, aber es geht wesentlich einfacher:
1.) Begründe zunächst, dass alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig sind.
2.) Betrachte [mm] $x=1\,.$ [/mm] Es war $f(1)=1/2$ (ich habe es nicht nachgerechnet und muss Dir hier vertrauen, dass Du diesen punktweise Grenzwert
[mm] $$\lim_{n \to \infty}f_n(1)$$
[/mm]
richtig berechnet hast!)
und
[mm] $$f(x)=1\;\;\;\text{ für }x [/mm] > [mm] 1\,.$$
[/mm]
(Auch hier habe ich das NICHT nachgerechnet, sondern vertraue Dir!)
Dann ist [mm] $f\,$ [/mm] offensichtlich unstetig an [mm] $x=1\,,$ [/mm] denn der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle
[mm] $$\lim\limits_{\substack{x > 1\\x\to 1}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x > 1\\x\to 1}}1=1$$
[/mm]
stimmt offenbar nicht mit [mm] $f(1)=1/2\,$ [/mm] überein ($1 [mm] \not= 1/2\,.$)
[/mm]
Würde [mm] $(f_n)_n$ [/mm] aber gleichmäßig gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergieren, so müßte wegen der Stetigkeit (fast) aller [mm] $f_n$ [/mm] dann auch [mm] $f\,$ [/mm] stetig sein. Wenn [mm] $f\,$ [/mm] aber stetig wäre, dann müßte [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere auch an der Stelle [mm] $x=1\,$ [/mm] stetig sein. Das dem aber nicht so ist, haben wir oben gesehen. Also kann hier [mm] $(f_n)_n$ [/mm] nicht glm. konvergieren. Denn eine andere Grenzfunktion als die punktweise Grenzfunktion kommt "als glm. Grenzwert der Funktionenfolge" gar nicht in Frage. Und wenigstens das solltest Du Dir nun noch überlegen,warum.
Übrigens benutzt Deine Überlegung/Frage eigentlich genau das, worauf Fred anfangs hingewiesen hat.
"Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit stetigen Gliedern führt zu einer stetigen Grenzfunktion." -etwas salopper gesagt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Okay, also dann hätte ich:
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(f_{n}(1+ \bruch{1}{n})-f(1+ \bruch{1}{n}))=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> >
> > nein.
> >
> > Es ist
> > [mm]f_{n}(1+1/n)=\bruch{|1+1/n|^{n}}{1+|1+1/n|^{n}} -f(1+1/n)= \bruch{(1+1/n)^{n}}{1+(1+1/n)^{n}} \to \bruch{e}{1+e}[/mm]
>
> >
> Okay, aber das [mm]-f(1+\bruch{1}{n})[/mm] hat hier ja gar keinen
> Einfluss, du hast bei der Rechnung nichts abgezogen von
> [mm]\bruch{|1+1/n|^{n}}{1+|1+1/n|^{n}}?[/mm]
es kann sein, dass Fred das vergessen hat. Wenn ich richtig nachgeschaut habe, war [mm] $f(x)=1\,$ [/mm] für $|x| > [mm] 1\,.$ [/mm] Dann wäre [mm] $f(1+1/n)=1\,$ [/mm] für jedes [mm] $n\,,$ [/mm] und wenn
[mm] $$f_{n}(1+1/n) \to e/(1+e)\,,$$
[/mm]
dann folgt natürlich
[mm] $$f_n(1+1/n)-f(1+1/n) \to [/mm] e/(1+e) [mm] \;-1\,.$$
[/mm]
Da aber $e/(1+e) [mm] \not=1\,$ [/mm] ist, ändert sich aber nix an Freds Argumenten - jedenfalls nichts wesentliches. Denn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert dann zwar gegen einen anderen Wert, als es oben steht, aber trotzdem immer noch nicht gegen [mm] $0\,.$
[/mm]
Ansonsten:
Es gibt vieles, wie man mit glm. Konvergenz umgehen kann. Wenn ihr bisher nur mit [mm] $\epsilon\,$ [/mm] und [mm] $n_0$ [/mm] "so dass für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt..." etc. (also quasi nur mit der "üblichen" Definition) gearbeitet habt, dann überlege Dir doch, wie Du mit Freds Hinweis/Tipps dann arbeiten kannst. Etwa à la "Angenommen, die Funktionenfolge würde gleichmäßig konvergieren. Als "gleichmäßiger Grenzwert" der Funktionenfolge kommt dann nur die Funktion [mm] $f\,,$ [/mm] welche durch punktweise Grenzwerte definiert wurde, in Betracht. (Warum?) Sei nun ..."
Versuch' vielleicht erstmal zu verstehen, warum das, was Fred macht, zeigt, dass keine glm. Konvergenz der Funktionenfolge gegeben sein kann. Das kannst Du durchaus auch mal machen, indem Du den Graphen der (punktweisen) Grenzfunktion [mm] $f\,$ [/mm] zeichnest und mal um diesen einen [mm] $\epsilon$-Schlauch, [/mm] für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ "klein" von Dir gewählt, und Dir dann mal zudem ein paar Graphen der [mm] $f_n$ [/mm] plottest/zeichnest...
Die glm. Konvergenz der Funktionenfolge bedeutet nämlich, dass es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ einen Index [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] gibt, ab dem die Graphen aller folgenden Funktionen-Folgeglieder "in diesem Schlauch um die Grenzfunktion" liegen. Wobei diese Grenzfunktion, falls existent, nowendigerweise dann auch punktweise Grenzfunktion ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:26 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > > > Okay, also dann hätte ich:
> > > >
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(f_{n}(1+ \bruch{1}{n})-f(1+ \bruch{1}{n}))=1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> > >
> > >
> > > nein.
> > >
> > > Es ist
> > > [mm]f_{n}(1+1/n)=\bruch{|1+1/n|^{n}}{1+|1+1/n|^{n}} -f(1+1/n)= \bruch{(1+1/n)^{n}}{1+(1+1/n)^{n}} \to \bruch{e}{1+e}[/mm]
>
> >
> > >
> > Okay, aber das [mm]-f(1+\bruch{1}{n})[/mm] hat hier ja gar keinen
> > Einfluss, du hast bei der Rechnung nichts abgezogen von
> > [mm]\bruch{|1+1/n|^{n}}{1+|1+1/n|^{n}}?[/mm]
>
> es kann sein, dass Fred das vergessen hat.
Hallo Marcel,
ja das hat der Fred vergessen
Gruß FRED
> Wenn ich richtig
> nachgeschaut habe, war [mm]f(x)=1\,[/mm] für [mm]|x| > 1\,.[/mm] Dann wäre
> [mm]f(1+1/n)=1\,[/mm] für jedes [mm]n\,,[/mm] und wenn
> [mm]f_{n}(1+1/n) \to e/(1+e)\,,[/mm]
> dann folgt natürlich
> [mm]f_n(1+1/n)-f(1+1/n) \to e/(1+e) \;-1\,.[/mm]
>
> Da aber [mm]e/(1+e) \not=1\,[/mm] ist, ändert sich aber nix an
> Freds Argumenten - jedenfalls nichts wesentliches. Denn
> [mm](a_n)_n[/mm] konvergiert dann zwar gegen einen anderen Wert, als
> es oben steht, aber trotzdem immer noch nicht gegen [mm]0\,.[/mm]
>
> Ansonsten:
> Es gibt vieles, wie man mit glm. Konvergenz umgehen kann.
> Wenn ihr bisher nur mit [mm]\epsilon\,[/mm] und [mm]n_0[/mm] "so dass für
> alle [mm]x\,[/mm] gilt..." etc. (also quasi nur mit der "üblichen"
> Definition) gearbeitet habt, dann überlege Dir doch, wie
> Du mit Freds Hinweis/Tipps dann arbeiten kannst. Etwa à la
> "Angenommen, die Funktionenfolge würde gleichmäßig
> konvergieren. Als "gleichmäßiger Grenzwert" der
> Funktionenfolge kommt dann nur die Funktion [mm]f\,,[/mm] welche
> durch punktweise Grenzwerte definiert wurde, in Betracht.
> (Warum?) Sei nun ..."
>
> Versuch' vielleicht erstmal zu verstehen, warum das, was
> Fred macht, zeigt, dass keine glm. Konvergenz der
> Funktionenfolge gegeben sein kann. Das kannst Du durchaus
> auch mal machen, indem Du den Graphen der (punktweisen)
> Grenzfunktion [mm]f\,[/mm] zeichnest und mal um diesen einen
> [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch, für [mm]\epsilon > 0[/mm] "klein" von Dir
> gewählt, und Dir dann mal zudem ein paar Graphen der [mm]f_n[/mm]
> plottest/zeichnest...
> Die glm. Konvergenz der Funktionenfolge bedeutet nämlich,
> dass es zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm] einen Index [mm]N=N_\epsilon[/mm]
> gibt, ab dem die Graphen aller folgenden
> Funktionen-Folgeglieder "in diesem Schlauch um die
> Grenzfunktion" liegen. Wobei diese Grenzfunktion, falls
> existent, nowendigerweise dann auch punktweise
> Grenzfunktion ist.
>
> Gruß,
> Marcel
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