gleichmäßige konvergenz zeigen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Sa 17.04.2010 | | Autor: | den9ts |
| Aufgabe | Man zeige für
[mm] f_{n}(x) =(1+x/n)^n
[/mm]
dass die Funktionenfolgen [mm] {f_n} [/mm] und {f'_{n}} gleichmäßig auf [-1; 1] konvergieren. |
hi also ich hab angefangen mit
[mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = 1 (weil [mm] (1+x/n)^n [/mm] =1 fuer n->ue)
sodass ich jetz zeigen muss dass
[mm] |f_{n}(x)-1|\le\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] |(1+x/n)^n|\le\varepsilon+1
[/mm]
und jetz weiß ich nich weiter..
ich denk ma ich soll nach n umstellen aber bin nach rumprobieren nicht wirklich weiter gekommen, waer also nett wenn mir jemand sagen koennte was ich an der stelle tun muss, danke
weiterhin muss ich ja zeigen, dass
[mm] |f'_{n}(x)-f'(x)|\le\varepsilon [/mm] mit [mm] f'(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} (n+x)^{n-1}=\infty
[/mm]
sodass ich dann [mm] |f'_{n}(x)-\infty|\le\varepsilon [/mm] hab;
[mm] |(n+x)^{n-1}-\infty|\le\varepsilon
[/mm]
muss ich das jetzt auch nach n umstellen.. wenn ja wie? ;s
weil eigentlich is die gleichung fuer n [mm] \in \IN [/mm] trivial, or?
tyy
hab die frage nirgends anders gestellt ;p
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 17.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man zeige für
> [mm]f_{n}(x) =(1+x/n)^n[/mm]
>
> dass die Funktionenfolgen [mm]{f_n}[/mm] und {f'_{n}} gleichmäßig
> auf [-1; 1] konvergieren.
> hi also ich hab angefangen mit
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm] = 1 (weil [mm](1+x/n)^n[/mm] =1 fuer n->ue)
Das ist falsch. Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt
[mm](1+x/n)^n \ge 1+x [/mm],
daher kann der Grenzwert nicht kleiner als $1+x$ sein.
Tatsächlich ist
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) = e^x [/mm] .
Tipp: für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz, musst du zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] finden, das nicht von x abhängt. Überlegt dir mal, ob du ein [mm] $x_0$ [/mm] angeben kannst, sodass
[mm] | f(x) -f_n(x) | \le | f(x_0) -f_n(x_0) | [/mm]
ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 So 18.04.2010 | | Autor: | den9ts |
brauch ich dazu die supremumsnorm?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 So 18.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum nicht einfach den Betrag?
Gruss leduart
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