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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Do 29.01.2009 | | Autor: | Becky27 |
| Aufgabe | | Es sei x>0. Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] (1-ln(x))^{2}=x(3-2 [/mm] ln(x)) genau zwei positive Lösungen besitzt. |
Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ich habe versucht abzuleiten und zu zeigen für welche x die ableitung > oder < 0 ist, aber das klappt nicht. Ich weiß nicht was ich sonst damit machen könnte...
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Hallo Becky,
vllt. geht's so:
Definiere dir die Funktion [mm] $f(x):=\left(1-\ln(x)\right)^2-x(3-2\ln(x))=\ln^2(x)+2(x-1)\ln(x)-3x+1$
[/mm]
Dann ist die Aufgabenstellung ja äquivalent dazu, zu beweisen, dass $f$ genau 2 Nullstellen hat
$f$ ist als Verkettung stetiger Funktionen stetig (auf [mm] $\IR^+$)
[/mm]
Untersuche [mm] $\lim\limits_{x\downarrow 0}f(x)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$
[/mm]
Dann begründe, dass $f$ genau ein Extremum hat und schaue dir mal [mm] $f\left(\frac{1}{2}\right), [/mm] f(1), f(5)$ an ...
Was sagt dir der ZWS?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Do 29.01.2009 | | Autor: | Becky27 |
Hallo, danke für die antwort. Damit kann ich jetzt zeigen dass es mind. 2 Nullstellen geben muss, aber wie kann ich zeigen, dass es genau zwei sind?
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Hallo nochmal,
na, wenn das Biest stetig ist und nur genau ein Extremum hat, wie soll es da mehr als 2 NST geben?
Der Graph müsste doch irgendwo wieder kehrtmachen, um auf die x-Achse zuzulaufen, hätte also mehr als 1 Extremum.
(Wenn ich's recht bedenke, kannst du dir damit wohl auch die Betrachtung der Limites für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ und [mm] $x\to\infty$ [/mm] sparen ...)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Do 29.01.2009 | | Autor: | Becky27 |
woher weiß man, dass es genau ein Extremum hat? mind. eins hatte ich gedacht wegen dem Satz von Rolle, aber genau eins?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Do 29.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Becky,
> woher weiß man, dass es genau ein Extremum hat? mind. eins
> hatte ich gedacht wegen dem Satz von Rolle, aber genau
> eins?
dürft ihr schon mit der Ableitung argumentieren? Falls ja:
Schachuzipus hatte ja
[mm] $$f(x):=\left(1-\ln(x)\right)^2-x(3-2\ln(x))=\ln^2(x)+2(x-1)\ln(x)-3x+1\;\;\;(x [/mm] > 0)$$
vorgeschlagen. Diese Funktion ist differenzierbar (sogar stetig differenzierbar). Du kannst hier mittels der Ableitung
[mm] $\bullet$ [/mm] einen Kandidaten für eine lokale Extremstelle [mm] $x_m$ [/mm] errechnen (es sei vorweggenommen, dass es sich herausstellen wird, dass [mm] $x_m$ [/mm] eine lokale (und sogar globale) Minimalstelle ist)
(Du wirst dabei sehen, dass es nur eine Extremstelle geben kann, quasi der Highlander)
[mm] $\bullet$ [/mm] Aussagen über das Monotonieverhalten der Funktion links und rechts der lokalen Minimalstelle treffen (woraus hier auch schon folgt, dass sie wirklich eine Minimalstelle ist und an der Stelle sogar ein globales Minimum vorliegt)
Wenn Du bedenkst, dass jede Extremstelle insbesondere eine lokale Extremstelle ist und damit ein kritischer Punkt, wirst Du auch erkennen, dass es hier höchstens eine Extremstelle geben kann. Und der zweite "Punkt [mm] $\bullet$" [/mm] oben klärt, dass es sich dort auch wirklich um eine globale Minimalstelle handelt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Do 29.01.2009 | | Autor: | Becky27 |
entschuldigung dass ich noch eine frage dazu habe
wie komme ich auf die lokale minimalstelle?, die Ableitung habe ich ausgerechnet, aber die kann ich nicht nach x auflösen wenn ich sie mit Null gleichsetze, weil noch x und ln(x) in der Gleichung vorkommen. Ich kam nur auf [mm] x=e^{\bruch{2+x}{2x+2}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> entschuldigung dass ich noch eine frage dazu habe
> wie komme ich auf die lokale minimalstelle?, die Ableitung
> habe ich ausgerechnet, aber die kann ich nicht nach x
> auflösen wenn ich sie mit Null gleichsetze, weil noch x und
> ln(x) in der Gleichung vorkommen. Ich kam nur auf
> [mm]x=e^{\bruch{2+x}{2x+2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
es ist ja
$$f\!\,'(x)=2*\frac{\ln(x)}{x}-\frac{2}{x}+2*\ln(x)-1\;\;\;(x > 0)\,.$$
Die zweite Ableitung berechnet sich zu
$$f\!\,''(x)=2*\frac{1-\ln(x)}{x^2}+\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}\;\;\;(x > 0)\,.$$
Damit gilt
$$f\!\,''(x)=\frac{4-2\ln(x)+2x}{x^2}\;\;\;(x > 0)\,.$$
Nun ist aber für jedes $x > 0$
$$f\!\,''(x) > 0\,,$$
denn es gilt für $x > 0$
$$f\!\,''(x) > 0$$
$$\gdw \ln(x) < 2+x\,.$$
Es reicht also, wenn Du begründest, dass $\ln(x) < 2+x$ für jedes $x \,> \, 0$ gilt. Schau' dazu mal in Deine Unterlagen, da findest Du sicherlich diese Aussage:
Für jedes $x > 0$ gilt $\ln(x) < x-1\,,$ und trivialerweise gilt $x-1 < 2+x\,.$
Also:
Es gilt für alle $x > 0$:
$$\ln(x) < x-1 \Rightarrow \ln(x) < 2+x \underset{s.o.}{\Rightarrow} f\!\,''(x) > 0\,.$$
Folglich ist $f\!\,'$ streng monton wachsend auf $(0,\infty)\,,$ insbesondere dort injektiv. Die Stetigkeit von $f\!\,'$ ist auch klar, nun kann man sich überlegen, dass $f\!\,'$ genau eine Nullstelle in $(0,\infty)$ hat (Existenz mit dem ZWS, die Eindeutigkeit, weil $f\!\,'$ insbesondere injektiv ist, s.o.). Ich seh' allerdings auch gerade, dass ich mich habe täuschen lassen und dachte, dass da einfach $x=2$ rauskäme. Aber es kann sein, dass sich die Nullstelle nicht so einfach angeben läßt...
Nichtsdestotrozu erkennt man aus obigen Überlegungen:
$f\!\,'$ hat genau eine Nullstelle in $(0,\infty)\,,$ es gibt also genau ein $x_m \in (0,\infty)$ mit $f\!\,'(x_m)=0$ und es gilt zudem $f\!\,''(x_m) > 0\,,$ also ist $x_m$ eine lokale Minimalstelle für $\,f\,$ in $(0,\infty)$. Und die ganzen theoretischen Argumente, die Du brauchst, kannst Du genauso bringen, ohne wirklich $x_m$ konkret angegeben zu haben:
$f\!\,''(x) > 0$ gilt für alle $x \in (0,\infty)},,$ daraus folgerten wir, dass $f\!\,'$ streng monoton wächst auf $(0,\infty)\,.$ $x_m$ ist die einzige Nullstelle für die stetige Funktion $f\,\!'\,.$ Weil $f\!\,'$ streng monoton wächst, erkennst Du, dass $f\!\,'(x) < 0$ für alle $0 < x < x_m$ und dass $f\!\,'(x) > 0$ für alle $x_m < x < \infty$ gilt. Damit solltest Du nun auf das Monotonieverhalten von $f$ links von $x_m$ und auf das Monotonieverhalten von $f$ rechts von $x_m$ schließen können.
Gruß,
Marcel
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