gleichzeitig Würfeln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Fr 28.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Zwei (ununterscheidbare) faire Würfel werden einmal gemeinsam geworfen
a) Gib einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Experiment) an
Bestimmte zudem die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
b) Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5.
c) Beide Würfel zeigen die 4.
d) Die Summe der beiden Würfel ist 8.
e) Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5.
f) Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1.
g) Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer als die Summe. |
Hallo.
Ich bräuchte mal wieder Hilfe bei Stochastik.
a) Gib einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Experiment) an :
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\}^2 [/mm] = [mm] \{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)\}
[/mm]
Nun ist [mm] |\Omega| [/mm] = 36 p(w)= [mm] \bruch{1}{6^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{36} [/mm]
Nun noch eine eventuell doofe Frage : (1,2)=(2,1) oder? da beide würfel ja gleichzeitig geworfen werden und ich somit ja eigentlich nicht unterscheiden kann welche Augenzahl zuerst geworfen wurde? wenn aber (1,2)=(2,1) gelten würde (natürlich auch für alle anderen kombination also [mm] (w_1,w_2)=(w_2,w_1)) [/mm] dann wäre [mm] |\Omega|=21. [/mm] Intuitiv würde ich jedoch von [mm] |\Omega| [/mm] = 36 und deswegen habe ich auch erstmal damit gearbeitet.
wenn ich ab sofort von w [mm] \in \Omega [/mm] meine ich [mm] (w_1,w_2) \in \Omega.
[/mm]
b) B="Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5." = [mm] \{(3,5),(5,3)\}= \{w \in \Omega : (w_1 = 3 \wedge w_2=5 ) \vee (w_1 = 5 \wedge w_2=3) \} [/mm] = [mm] B_1 \cup B_2 [/mm] = [mm] \{(3,5)\} \cup \{(5,3)\}
[/mm]
|B| =2
p(B) = [mm] \bruch{|B|}{| \Omega|} =\bruch{2}{36} [/mm] = [mm] \bruch{1}{18} [/mm] = [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + [mm] \bruch{1}{36} [/mm] = [mm] P(B_1)+P(B_2) [/mm] = p( [mm] B_1 \cup B_2) [/mm] ( da [mm] B_1\cap B_1 [/mm] = [mm] \emptyset)
[/mm]
Mache das absichtlich so, damit ihr auch überprüfen könnt ob ich jede Möglichkeit richtig verstanden habe und anwenden kann...
c) C="Beide Würfel zeigen die 4."
C = [mm] \{(4,4)\}=\{w \in \Omega : w_i = 4, i=1,2\} [/mm]
p(C) = [mm] \bruch{|C|}{| \Omega|} =\bruch{1}{36}
[/mm]
d) D="Die Summe der beiden Würfel ist 8." = [mm] \{ w\in \Omega : w_1 + w_2 = 8\}= \{(2,6),(6,2),(5,3),(3,5),(4,4)\} [/mm]
|D|=5
[mm] p(D)=\bruch{|D|}{| \Omega|} =\bruch{5}{36}
[/mm]
e) E="Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5."
Soll das heißen, dass höchsten eine 5 gewürfelt wird und keine 6?
f) F="Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1."
Wie soll ich das verstehen??
g) G="Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer als die Summe." = [mm] \{w \in \Omega : w_1 * w_2 > w_1+w_2\}
[/mm]
|G|=24
[mm] p(G)=\bruch{|G|}{| \Omega|} =\bruch{24}{36}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Fr 28.10.2016 | | Autor: | abakus |
> Zwei (ununterscheidbare) faire Würfel werden einmal
> gemeinsam geworfen
>
> a) Gib einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
> (Experiment) an
>
> Bestimmte zudem die Wahrscheinlichkeiten der folgenden
> Ereignisse:
>
> b) Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5.
> c) Beide Würfel zeigen die 4.
> d) Die Summe der beiden Würfel ist 8.
> e) Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5.
> f) Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1.
> g) Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer als
> die Summe.
> Hallo.
>
> Ich bräuchte mal wieder Hilfe bei Stochastik.
>
> a) Gib einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
> (Experiment) an :
>
> [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{1,2,3,4,5,6\}^2[/mm] =
> [mm]\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)\}[/mm]
> Nun ist [mm]|\Omega|[/mm] = 36 p(w)= [mm]\bruch{1}{6^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{36}[/mm]
>
> Nun noch eine eventuell doofe Frage : (1,2)=(2,1) oder? da
> beide würfel ja gleichzeitig geworfen werden und ich somit
> ja eigentlich nicht unterscheiden kann welche Augenzahl
> zuerst geworfen wurde? wenn aber (1,2)=(2,1) gelten würde
> (natürlich auch für alle anderen kombination also
> [mm](w_1,w_2)=(w_2,w_1))[/mm] dann wäre [mm]|\Omega|=21.[/mm] Intuitiv
> würde ich jedoch von [mm]|\Omega|[/mm] = 36 und deswegen habe ich
> auch erstmal damit gearbeitet.
Das hätte ich auch so gemacht.
>
> wenn ich ab sofort von w [mm]\in \Omega[/mm] meine ich [mm](w_1,w_2) \in \Omega.[/mm]
>
> b) B="Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine
> 5." = [mm]\{(3,5),(5,3)\}= \{w \in \Omega : (w_1 = 3 \wedge w_2=5 ) \vee (w_1 = 5 \wedge w_2=3) \}[/mm]
> = [mm]B_1 \cup B_2[/mm] = [mm]\{(3,5)\} \cup \{(5,3)\}[/mm]
> |B| =2
> p(B) = [mm]\bruch{|B|}{| \Omega|} =\bruch{2}{36}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{18}[/mm] = [mm]\bruch{1}{36}[/mm] + [mm]\bruch{1}{36}[/mm] =
> [mm]P(B_1)+P(B_2)[/mm] = p( [mm]B_1 \cup B_2)[/mm] ( da [mm]B_1\cap B_1[/mm] =
> [mm]\emptyset)[/mm]
> Mache das absichtlich so, damit ihr auch überprüfen
> könnt ob ich jede Möglichkeit richtig verstanden habe und
> anwenden kann...
>
>
> c) C="Beide Würfel zeigen die 4."
> C = [mm]\{(4,4)\}=\{w \in \Omega : w_i = 4, i=1,2\}[/mm]
> p(C) = [mm]\bruch{|C|}{| \Omega|} =\bruch{1}{36}[/mm]
>
>
> d) D="Die Summe der beiden Würfel ist 8." = [mm]\{ w\in \Omega : w_1 + w_2 = 8\}= \{(2,6),(6,2),(5,3),(3,5),(4,4)\}[/mm]
> |D|=5
> [mm]p(D)=\bruch{|D|}{| \Omega|} =\bruch{5}{36}[/mm]
>
b, c und d sind richtig.
>
> e) E="Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5."
> Soll das heißen, dass höchsten eine 5 gewürfelt wird
> und keine 6?
Nein, es können auch zwei Fünfen geworfen werden.
Betrachte als alle Fälle, in denen
keine 6 dabei ist
UND
mindestens eine 5 gewürfelt wurde.
>
>
> f) F="Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1."
> Wie soll ich das verstehen??
>
Keiner der beiden Würfel zeigt eine größere Zahl als 1.
>
> g) G="Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer
> als die Summe." = [mm]\{w \in \Omega : w_1 * w_2 > w_1+w_2\}[/mm]
>
> |G|=24
> [mm]p(G)=\bruch{|G|}{| \Omega|} =\bruch{24}{36}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
>
> Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Fr 28.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
>
> b, c und d sind richtig.
> >
Supi! Danke :)
> > e) E="Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5."
> > Soll das heißen, dass höchsten eine 5 gewürfelt wird
> > und keine 6?
> Nein, es können auch zwei Fünfen geworfen werden.
> Betrachte als alle Fälle, in denen
> keine 6 dabei ist
> UND
> mindestens eine 5 gewürfelt wurde.
ja das meinte ich. War mal wieder doof formuliert!
[mm] E=\{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)\}= \{ w \in \Omega : (w_1 = 5 \wedge 1 \le w_2 \le 5) \vee (1 \le w_1 \le 5 \wedge w_2 = 5)\}= \{w \in \Omega : max(w_i) = 5, i=1,2\}
[/mm]
Ist das so korrekt oder schreibt man das anders??
|E|=9
P(E) = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
> >
> >
> > f) F="Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1."
> > Wie soll ich das verstehen??
> >
> Keiner der beiden Würfel zeigt eine größere Zahl als 1.
heißt doch eigentlich nur (1,1).
[mm] F=\{w \in \Omega : min(w_i)=1 , i=1,2\}
[/mm]
[mm] P(F)=\bruch{1}{36}
[/mm]
> >
> > g) G="Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer
> > als die Summe." = [mm]\{w \in \Omega : w_1 * w_2 > w_1+w_2\}[/mm]
>
> >
> > |G|=24
> > [mm]p(G)=\bruch{|G|}{| \Omega|} =\bruch{24}{36}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> >
> >
> > Danke :)
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Fr 28.10.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo lisa,
da ich abakus nicht die Antwort klauen möchte: Beachte bitte meinen Hinweis zu seiner ersten Antwort.
Deine Lösung für f) wäre "Das Maximum der beiden Würfel ist 1". Da hat Abakus sich verlesen 
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Fr 28.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
Jetzt erst gesehen :
> Hallo lisa,
>
> da ich abakus nicht die Antwort klauen möchte: Beachte
> bitte meinen Hinweis zu seiner ersten Antwort.
> Deine Lösung für f) wäre "Das Maximum der beiden Würfel
> ist 1". Da hat Abakus sich verlesen
>
> Gruß,
> Gono
F = [mm] \{(1,2),...(1,6),(1,1),(2,1)...(6,1)\}
[/mm]
|F|=9
[mm] P(F)=\bruch{1}{6} [/mm]
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Hiho,
> F = [mm]\{(1,2),...(1,6),(1,1),(2,1)...(6,1)\}[/mm]
> |F|=9
> [mm]P(F)=\bruch{1}{6}[/mm]
Na abzählen und kürzen üben wir beides nochmal.
Danach versuchen wir es nochmal
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 28.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
> Hiho,
>
F = [mm]\{(1,1),(1,2),...(1,6),(2,1)...(6,1)\}[/mm]
|F|=11
[mm]P(F)=\bruch{11}{36}[/mm]
>
> Na abzählen und kürzen üben wir beides nochmal.
> Danach versuchen wir es nochmal
>
> Gruß,
> Gono
Danke :D müsste so richtig sein oder?
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Hiho,
> F = [mm]\{(1,1),(1,2),...(1,6),(2,1)...(6,1)\}[/mm]
> |F|=11
> [mm]P(F)=\bruch{11}{36}[/mm]
sieht besser aus.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Fr 28.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
Sind denn e) und g) auch so korrekt? :)
Danke :))))
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Hiho,
hab mal geantwortet
Gruß,
Gono
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Hiho,
> [mm]E=\{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)\}= \{ w \in \Omega : (w_1 = 5 \wedge 1 \le w_2 \le 5) \vee (1 \le w_1 \le 5 \wedge w_2 = 5)\}= \{w \in \Omega : max(w_i) = 5, i=1,2\}[/mm]
bis auf den Mittelteil ist es ok.
Im Mittelteil ist der Ausdruck [mm] $w_1 [/mm] = 5 [mm] \wedge [/mm] 1$ halt Blödsinn, weil $5 [mm] \wedge [/mm] 1 = 1$ gilt und damit wäre [mm] $w_1 [/mm] = 1$
Ansonsten stimmt es.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Sa 29.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
Ah super danke! :)
Schönes Wochenende noch! :)
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Hiho,
> > f) F="Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1."
> > Wie soll ich das verstehen??
> >
> Keiner der beiden Würfel zeigt eine größere Zahl als 1.
nein, es bedeutet (mindestens) ein Würfel zeigt eine 1.
Minimum, nicht Maximum ::):
Gruß,
Gono
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> Zwei (ununterscheidbare) faire Würfel werden einmal
> gemeinsam geworfen
> Bestimmte zudem die Wahrscheinlichkeiten der folgenden
> Ereignisse:
>
> b) Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5.
> ..........
Eine möglicherweise etwas doofe Frage:
Falls die Würfel wirklich ununterscheidbar wären:
Wie soll man dann den "einen" Würfel wirklich vom
"anderen" unterscheiden können ??
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Fr 28.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
> > Zwei (ununterscheidbare) faire Würfel werden einmal
> > gemeinsam geworfen
>
> > Bestimmte zudem die Wahrscheinlichkeiten der folgenden
> > Ereignisse:
> >
> > b) Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5.
> > ..........
>
>
> Eine möglicherweise etwas doofe Frage:
>
> Falls die Würfel wirklich ununterscheidbar wären:
>
> Wie soll man dann den "einen" Würfel wirklich vom
> "anderen" unterscheiden können ??
>
> LG , Al-Chw.
Ja ´das fragte ich ja auch oben, Da dann ja auch gelten müsste [mm] (w_1,w_2)=(w_2,w_1) [/mm] und dann ja auch [mm] |\Omega|=21 [/mm] wäre. Kann dann ja nicht entscheiden welche Augenzahl an stelle 1 steht.
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Hiho,
beachte, dass du ein Modell entwickelst. Dabei wird das Zufallsexperiment, was du beschreiben möchtest durch dein gewähltes, möglicherweise viel detaillierteres Modell, und die Zufallsvariable bestimmt wird.
D.h. eine Zufallsvariable ist eine Abbildung von einem detaillierteren Modellraum in einen weniger detailreichen Raum.
D.h. im Normalfall beschreibt das gewählte [mm] \Omega [/mm] viel mehr, als man eigentlich braucht, so auch hier: Du gehst von unterscheidbaren Würfeln aus (was eine viel stärkere Annahme ist!), die Ununterscheidbarkeit wird durch die Zufallsvariable modelliert.
D.h. in deinem Modell ist im Allgemeinen eben [mm] $(\omega_1,\omega_2) \not= (\omega_2,\omega_1)$, [/mm] was aber kein Widerspruch zur Aufgabenstellung ist.
Gruß,
Gono
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Ist es nicht völlig egal ob die Würfel nun jetzt ununterscheidbar sind?
Im Prinzip könnte man auch den selben Würfel zweimal hintereinander würfeln, es wäre, mit Annahme, dass es sich um einen "fairen" Würfel handelt, die "selbe" Ergebnismenge, wie mit 2 Würfeln, von denen von mir aus der eine rot, der andere blau ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 31.10.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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