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Forum "Uni-Stochastik" - gleichzeitig Würfeln
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gleichzeitig Würfeln: Tipp/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Fr 28.10.2016
Autor: lisa2802

Aufgabe
Zwei (ununterscheidbare) faire Würfel werden einmal gemeinsam geworfen

a) Gib einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Experiment) an

Bestimmte zudem die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

b) Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5.
c) Beide Würfel zeigen die 4.
d) Die Summe der beiden Würfel ist 8.
e) Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5.
f) Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1.
g) Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer als die Summe.

Hallo.

Ich bräuchte mal wieder Hilfe bei Stochastik.

a) Gib einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Experiment) an :

[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\}^2 [/mm] = [mm] \{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)\} [/mm]
Nun ist [mm] |\Omega| [/mm] = 36 p(w)= [mm] \bruch{1}{6^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{36} [/mm]

Nun noch eine eventuell doofe Frage : (1,2)=(2,1) oder? da beide würfel ja gleichzeitig geworfen werden und ich somit ja eigentlich nicht unterscheiden kann welche Augenzahl zuerst geworfen wurde? wenn aber (1,2)=(2,1) gelten würde (natürlich auch für alle anderen kombination also [mm] (w_1,w_2)=(w_2,w_1)) [/mm] dann wäre [mm] |\Omega|=21. [/mm] Intuitiv würde ich jedoch von [mm] |\Omega| [/mm] = 36 und deswegen habe ich auch erstmal damit gearbeitet.

wenn ich ab sofort von w [mm] \in \Omega [/mm] meine ich [mm] (w_1,w_2) \in \Omega. [/mm]

b) B="Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5." = [mm] \{(3,5),(5,3)\}= \{w \in \Omega : (w_1 = 3 \wedge w_2=5 ) \vee (w_1 = 5 \wedge w_2=3) \} [/mm] = [mm] B_1 \cup B_2 [/mm] = [mm] \{(3,5)\} \cup \{(5,3)\} [/mm]
|B| =2
p(B) = [mm] \bruch{|B|}{| \Omega|} =\bruch{2}{36} [/mm] = [mm] \bruch{1}{18} [/mm] = [mm] \bruch{1}{36} [/mm] + [mm] \bruch{1}{36} [/mm] = [mm] P(B_1)+P(B_2) [/mm] = p( [mm] B_1 \cup B_2) [/mm] ( da [mm] B_1\cap B_1 [/mm] = [mm] \emptyset) [/mm]
Mache das absichtlich so, damit ihr auch überprüfen könnt ob ich jede Möglichkeit richtig verstanden habe und anwenden kann...


c) C="Beide Würfel zeigen die 4."
C = [mm] \{(4,4)\}=\{w \in \Omega : w_i = 4, i=1,2\} [/mm]
p(C) = [mm] \bruch{|C|}{| \Omega|} =\bruch{1}{36} [/mm]


d) D="Die Summe der beiden Würfel ist 8." = [mm] \{ w\in \Omega : w_1 + w_2 = 8\}= \{(2,6),(6,2),(5,3),(3,5),(4,4)\} [/mm]
|D|=5
[mm] p(D)=\bruch{|D|}{| \Omega|} =\bruch{5}{36} [/mm]


e) E="Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5."
Soll das heißen, dass höchsten eine 5 gewürfelt wird und keine 6?


f) F="Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1."
Wie soll ich das verstehen??


g) G="Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer als die Summe." = [mm] \{w \in \Omega : w_1 * w_2 > w_1+w_2\} [/mm]
|G|=24
[mm] p(G)=\bruch{|G|}{| \Omega|} =\bruch{24}{36}=\bruch{2}{3} [/mm]


Danke :)

        
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Fr 28.10.2016
Autor: abakus


> Zwei (ununterscheidbare) faire Würfel werden einmal
> gemeinsam geworfen
>  
> a) Gib einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
> (Experiment) an
>  
> Bestimmte zudem die Wahrscheinlichkeiten der folgenden
> Ereignisse:
>  
> b) Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5.
>  c) Beide Würfel zeigen die 4.
>  d) Die Summe der beiden Würfel ist 8.
>  e) Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5.
>  f) Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1.
>  g) Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer als
> die Summe.
>  Hallo.
>  
> Ich bräuchte mal wieder Hilfe bei Stochastik.
>  
> a) Gib einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
> (Experiment) an :
>  
> [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{1,2,3,4,5,6\}^2[/mm] =
> [mm]\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)\}[/mm]
>  Nun ist [mm]|\Omega|[/mm] = 36 p(w)= [mm]\bruch{1}{6^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{36}[/mm]
>
> Nun noch eine eventuell doofe Frage : (1,2)=(2,1) oder? da
> beide würfel ja gleichzeitig geworfen werden und ich somit
> ja eigentlich nicht unterscheiden kann welche Augenzahl
> zuerst geworfen wurde? wenn aber (1,2)=(2,1) gelten würde
> (natürlich auch für alle anderen kombination also
> [mm](w_1,w_2)=(w_2,w_1))[/mm] dann wäre [mm]|\Omega|=21.[/mm] Intuitiv
> würde ich jedoch von [mm]|\Omega|[/mm] = 36 und deswegen habe ich
> auch erstmal damit gearbeitet.

Das hätte ich auch so gemacht.

>  
> wenn ich ab sofort von w [mm]\in \Omega[/mm] meine ich [mm](w_1,w_2) \in \Omega.[/mm]
>  
> b) B="Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine
> 5." = [mm]\{(3,5),(5,3)\}= \{w \in \Omega : (w_1 = 3 \wedge w_2=5 ) \vee (w_1 = 5 \wedge w_2=3) \}[/mm]
> = [mm]B_1 \cup B_2[/mm] = [mm]\{(3,5)\} \cup \{(5,3)\}[/mm]
>  |B| =2
>   p(B) = [mm]\bruch{|B|}{| \Omega|} =\bruch{2}{36}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{18}[/mm] = [mm]\bruch{1}{36}[/mm] + [mm]\bruch{1}{36}[/mm] =
> [mm]P(B_1)+P(B_2)[/mm] = p( [mm]B_1 \cup B_2)[/mm] ( da [mm]B_1\cap B_1[/mm] =
> [mm]\emptyset)[/mm]
>  Mache das absichtlich so, damit ihr auch überprüfen
> könnt ob ich jede Möglichkeit richtig verstanden habe und
> anwenden kann...
>  
>
> c) C="Beide Würfel zeigen die 4."
>  C = [mm]\{(4,4)\}=\{w \in \Omega : w_i = 4, i=1,2\}[/mm]
> p(C) = [mm]\bruch{|C|}{| \Omega|} =\bruch{1}{36}[/mm]
>  
>
> d) D="Die Summe der beiden Würfel ist 8." = [mm]\{ w\in \Omega : w_1 + w_2 = 8\}= \{(2,6),(6,2),(5,3),(3,5),(4,4)\}[/mm]
> |D|=5
> [mm]p(D)=\bruch{|D|}{| \Omega|} =\bruch{5}{36}[/mm]
>  

b, c und d sind richtig.

>
> e) E="Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5."
>  Soll das heißen, dass höchsten eine 5 gewürfelt wird
> und keine 6?

Nein, es können auch zwei Fünfen geworfen werden.
Betrachte als alle Fälle, in denen
keine 6 dabei ist
UND
mindestens eine 5 gewürfelt wurde.

>  
>
> f) F="Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1."
>  Wie soll ich das verstehen??
>  

Keiner der beiden Würfel zeigt eine größere Zahl als 1.

>
> g) G="Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer
> als die Summe." = [mm]\{w \in \Omega : w_1 * w_2 > w_1+w_2\}[/mm]
>  
> |G|=24
>  [mm]p(G)=\bruch{|G|}{| \Omega|} =\bruch{24}{36}=\bruch{2}{3}[/mm]
>  
>
> Danke :)


Bezug
                
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Fr 28.10.2016
Autor: lisa2802


>
> b, c und d sind richtig.
>  >

Supi! Danke :)

> > e) E="Das Maximum der beiden Würfel ist (genau) 5."
>  >  Soll das heißen, dass höchsten eine 5 gewürfelt wird
> > und keine 6?
>  Nein, es können auch zwei Fünfen geworfen werden.
>  Betrachte als alle Fälle, in denen
>  keine 6 dabei ist
>  UND
>  mindestens eine 5 gewürfelt wurde.

ja das meinte ich. War mal wieder doof formuliert!

[mm] E=\{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)\}= \{ w \in \Omega : (w_1 = 5 \wedge 1 \le w_2 \le 5) \vee (1 \le w_1 \le 5 \wedge w_2 = 5)\}= \{w \in \Omega : max(w_i) = 5, i=1,2\} [/mm]
Ist das so korrekt oder schreibt man das anders??
|E|=9
P(E) = [mm] \bruch{1}{6} [/mm]

>  >  
> >
> > f) F="Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1."
>  >  Wie soll ich das verstehen??
>  >  
> Keiner der beiden Würfel zeigt eine größere Zahl als 1.

heißt doch eigentlich nur (1,1).
[mm] F=\{w \in \Omega : min(w_i)=1 , i=1,2\} [/mm]
[mm] P(F)=\bruch{1}{36} [/mm]

>  >

> > g) G="Das Produkt der beiden Würfel ist (echt) größer
> > als die Summe." = [mm]\{w \in \Omega : w_1 * w_2 > w_1+w_2\}[/mm]
>  
> >  

> > |G|=24
>  >  [mm]p(G)=\bruch{|G|}{| \Omega|} =\bruch{24}{36}=\bruch{2}{3}[/mm]
>  
> >  

> >
> > Danke :)
>  


Bezug
                        
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:07 Fr 28.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hallo lisa,

da ich abakus nicht die Antwort klauen möchte: Beachte bitte meinen Hinweis zu seiner ersten Antwort.
Deine Lösung für f) wäre "Das Maximum der beiden Würfel ist 1". Da hat Abakus sich verlesen :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Fr 28.10.2016
Autor: lisa2802

Jetzt erst gesehen :
> Hallo lisa,
>  
> da ich abakus nicht die Antwort klauen möchte: Beachte
> bitte meinen Hinweis zu seiner ersten Antwort.
> Deine Lösung für f) wäre "Das Maximum der beiden Würfel
> ist 1". Da hat Abakus sich verlesen :-)
>  
> Gruß,
>  Gono

F = [mm] \{(1,2),...(1,6),(1,1),(2,1)...(6,1)\} [/mm]
|F|=9
[mm] P(F)=\bruch{1}{6} [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Fr 28.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> F = [mm]\{(1,2),...(1,6),(1,1),(2,1)...(6,1)\}[/mm]
>  |F|=9
>   [mm]P(F)=\bruch{1}{6}[/mm]

Na abzählen und kürzen üben wir beides nochmal.
Danach versuchen wir es nochmal :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Fr 28.10.2016
Autor: lisa2802


> Hiho,
>  

F = [mm]\{(1,1),(1,2),...(1,6),(2,1)...(6,1)\}[/mm]
|F|=11
[mm]P(F)=\bruch{11}{36}[/mm]

>
> Na abzählen und kürzen üben wir beides nochmal.
>  Danach versuchen wir es nochmal :-)
>  
> Gruß,
>  Gono

Danke :D müsste so richtig sein oder?

Bezug
                                                        
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Fr 28.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> F = [mm]\{(1,1),(1,2),...(1,6),(2,1)...(6,1)\}[/mm]
>   |F|=11
>  [mm]P(F)=\bruch{11}{36}[/mm]

sieht besser aus.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Fr 28.10.2016
Autor: lisa2802

Sind denn e) und g) auch so korrekt? :)


Danke :))))

Bezug
                                                                        
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Sa 29.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

hab mal geantwortet

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Sa 29.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]E=\{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)\}= \{ w \in \Omega : (w_1 = 5 \wedge 1 \le w_2 \le 5) \vee (1 \le w_1 \le 5 \wedge w_2 = 5)\}= \{w \in \Omega : max(w_i) = 5, i=1,2\}[/mm]

bis auf den Mittelteil ist es ok.
Im Mittelteil ist der Ausdruck [mm] $w_1 [/mm] = 5 [mm] \wedge [/mm] 1$ halt Blödsinn, weil $5 [mm] \wedge [/mm] 1 = 1$ gilt und damit wäre [mm] $w_1 [/mm] = 1$
  

Ansonsten stimmt es.

Gruß,
Gono

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Bezug
gleichzeitig Würfeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:18 Sa 29.10.2016
Autor: lisa2802

Ah super danke! :)
Schönes Wochenende noch! :)

Bezug
                
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 15:06 Fr 28.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> > f) F="Das Minimum der beiden Würfel ist (genau) 1."
>  >  Wie soll ich das verstehen??
>  >  
> Keiner der beiden Würfel zeigt eine größere Zahl als 1.

nein, es bedeutet (mindestens) ein Würfel zeigt eine 1.
Minimum, nicht Maximum ::):

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
gleichzeitig Würfeln: ununterscheidbar ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:17 Fr 28.10.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Zwei (ununterscheidbare) faire Würfel werden einmal
> gemeinsam geworfen

> Bestimmte zudem die Wahrscheinlichkeiten der folgenden
> Ereignisse:
>  
> b) Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5.
> ..........


Eine möglicherweise etwas doofe Frage:

Falls die Würfel wirklich ununterscheidbar wären:

Wie soll man dann den "einen" Würfel wirklich vom
"anderen" unterscheiden können ??

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Fr 28.10.2016
Autor: lisa2802


> > Zwei (ununterscheidbare) faire Würfel werden einmal
> > gemeinsam geworfen
>  
> > Bestimmte zudem die Wahrscheinlichkeiten der folgenden
> > Ereignisse:
>  >  
> > b) Einer der Würfel zeigt eine 3 und der andere eine 5.
>  > ..........

>  
>
> Eine möglicherweise etwas doofe Frage:
>  
> Falls die Würfel wirklich ununterscheidbar wären:
>  
> Wie soll man dann den "einen" Würfel wirklich vom
>  "anderen" unterscheiden können ??
>  
> LG ,   Al-Chw.

Ja ´das fragte ich ja auch oben, Da dann ja auch gelten müsste [mm] (w_1,w_2)=(w_2,w_1) [/mm] und dann ja auch [mm] |\Omega|=21 [/mm] wäre. Kann dann ja nicht entscheiden welche Augenzahl an stelle 1 steht.

Bezug
                        
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Fr 28.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

beachte, dass du ein Modell entwickelst. Dabei wird das Zufallsexperiment, was du beschreiben möchtest durch dein gewähltes, möglicherweise viel detaillierteres Modell, und die Zufallsvariable bestimmt wird.

D.h. eine Zufallsvariable ist eine Abbildung von einem detaillierteren Modellraum in einen weniger detailreichen Raum.

D.h. im Normalfall beschreibt das gewählte [mm] \Omega [/mm] viel mehr, als man eigentlich braucht, so auch hier: Du gehst von unterscheidbaren Würfeln aus (was eine viel stärkere Annahme ist!), die Ununterscheidbarkeit wird durch die Zufallsvariable modelliert.

D.h. in deinem Modell ist im Allgemeinen eben [mm] $(\omega_1,\omega_2) \not= (\omega_2,\omega_1)$, [/mm] was aber kein Widerspruch zur Aufgabenstellung ist.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:25 Sa 29.10.2016
Autor: sinnlos123

Ist es nicht völlig egal ob die Würfel nun jetzt ununterscheidbar sind?

Im Prinzip könnte man auch den selben Würfel zweimal hintereinander würfeln, es wäre, mit Annahme, dass es sich um einen "fairen" Würfel handelt, die "selbe" Ergebnismenge, wie mit 2 Würfeln, von denen von mir aus der eine rot, der andere blau ist.

Bezug
                                        
Bezug
gleichzeitig Würfeln: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mo 31.10.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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