glm. Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich habe am 9.11. Zwischenprüfung und bin noch nicht ganz fit. Zwei Analysis-Fragen sind geblieben und ich hoffe, ihr könnt mir das so erklären, daß ich es auch verstehe 
Hier erstmal die zur gleichmäßigen Konvergenz:
Was ist glm. Konvergenz? Wie unterscheidet sie sich zur gewöhnlichen, punktweisen oder absoluten Konvergenz, deren Begriffe mir klar sind.
Mir schwebt im Kopf herum, daß das bei Funktionenfolgen wie [mm] x^n [/mm] eine Rolle spielt, die - glaube ich - punktweise aber nicht glm. konvergent sei.
Nur warum?
Schönen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Di 12.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo ImperatoM!
Diese Erklärung (draufklicken) von mir sollte dir weiterhelfen.
Zu deinem Beispiel:
Die Funktionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$,
[/mm]
[mm] $f_n [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} [0,1] & \to & \IR\\[5pt] 0 & \mapsto & x^n \end{array}$
[/mm]
ist punktweise konvergent (das kann man leicht zeigen) gegen die Funktion
$f(x) = [mm] \left\{ \begin{array}{cccc} 0 &, & \mbox{wenn}& x \in [0,1),\\[5pt] 1 & , & \mbox{wenn} & x=1 \end{array} \right.$,
[/mm]
aber nicht gleichmäßig konvergent.
Dies könnte man auch direkt zeigen, aber wir argumentieren indirekt:
Es gilt der Satz: Konvergiert eine auf einem Intervall definierte Folge stetiger Funktionen gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion, so ist auch die Grenzfunktion stetig.
Demzufolge müsste obiges $f$ stetig sein, wenn die Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gleichmäßig konvergent wäre. Dies ist aber offenbar nicht der Fall.
Konnte ich ein wenig Licht ins Dunkel bringen? 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mi 13.10.2004 | | Autor: | ImperatoM |
Spitze! Das war genau das was ich gesucht habe, danke!
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