glm. konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige oder widerlege:
Die Funktion [mm] f_n [/mm] (x) = [mm] \bruch{x}{1+nx} [/mm] konvergiert gleichmäßig (für n->unendl.) |
Wie zeigt man das?
Für gleichmäßige Konvergenz gilt doch:
[mm] |f_n [/mm] (x) - f(x) | < [mm] \varepsilon [/mm] oder ||fn - f|| < [mm] \varepsilon [/mm] .
f ist in diesem fall ja 0.
Also bleibt noch:
[mm] ||f_n [/mm] (x) || < [mm] \varepsilon [/mm] .
Was fange ich nun mit dem an? Das Supremum ist ja 1. Wenn man das zeigt, ist man dann fertig?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Do 22.01.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo MisterWong,
ja, der Grenzwert ist $f=0$. Also musst du zeigen, dass es für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $n\geq [/mm] N$ gilt: [mm] $|f_n(x)|<\varepsilon$.
[/mm]
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ fest gewählt.
Es gilt $|nx|<|1+nx|$. (Begründen!)
Da [mm] $n\in\mathbb{N}$, [/mm] gilt $|nx|=n|x|$. Daraus folgt: [mm] $\frac{|x|}{|1+nx|}\leq \frac{1}{n}$.
[/mm]
Das heißt [mm] $|f_n(x)|<\frac{1}{n}$
[/mm]
Wähle [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] so, dass [mm] $\frac{1}{N}<\varepsilon$.
[/mm]
Dann bist du schon fast fertig. Du musst nur noch begründen, dass die Ungleichung für alle [mm] $n\geq [/mm] N$ gilt.
Lieben Gruß,
Fulla
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