global asymptotisch stabil < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mo 26.11.2018 | | Autor: | Tanja11 |
| Aufgabe | [mm] \begin{cases} x'=-\bruch{1}{2}*x^3 + x*y^2 & \mbox{ } \mbox{} \\ y'=\alpha*x^2*y-\bruch{1}{2}*y^3, & \mbox{} \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Man soll zeigen, dass für [mm] \alpha [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] das Equil. (0,0) glob. asymptotisch stabil ist. |
Wie könnte man hier vorgehen? Ein paar Vorschläge würden reichen:)
Vielen Dank im Voraus:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Di 27.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\begin{cases} x'=-\bruch{1}{2}*x^3 + x*y^2 & \mbox{ } \mbox{} \\ y'=\alpha*x^2*y-\bruch{1}{2}*y^3, & \mbox{} \mbox{} \end{cases}[/mm]
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> Man soll zeigen, dass für [mm]\alpha[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] das Equil.
> (0,0) glob. asymptotisch stabil ist.
> Wie könnte man hier vorgehen? Ein paar Vorschläge
> würden reichen:)
Sei
[mm] $f(x,y)=(-\bruch{1}{2}\cdot{}x^3 [/mm] + [mm] x\cdot{}y^2, \quad \alpha\cdot{}x^2\cdot{}y-\bruch{1}{2}\cdot{}y^3)$
[/mm]
Finde, im Falle [mm] $\alpha [/mm] <1/2$, ein $r>0$ und eine stetig differenzierbare Funktion $V: [mm] \{(x,y) \in \IR^2: ||(x,y)||_2
$V(0,0)=0, V(x,y)>0$ für [mm] $0<||(x,y)||_2
[mm] ($\cdot$ [/mm] bedeutet Skalarprodukt).
V heißt Lyapunovfunktion.
Nun hoffe ich, dass Ihr den Satz hattet, der besagt: sind r und V wie oben, so ist (0,0) asymptotisch stabil.
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> Vielen Dank im Voraus:)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:30 Di 27.11.2018 | | Autor: | Tanja11 |
Vielen Dank für die Antwort!
Genau hier weiß ich aber nicht wie man das V bestimmen soll. Also gibt es eine bestimmte Methode wie man das V bestimmen könnte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 29.11.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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