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globaleMax/Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mo 12.01.2015
Autor: sissile

Aufgabe
[mm] f:\IR\to\IR [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 3x^2+2x, & \mbox{für } x\le1 \\ 8x-3, & \mbox{für }x>1 \end{cases} [/mm]
Überprüfen Sie Differenzierbarkeit auf [mm] \IR, [/mm] lokale Extrema, Monotonieverhalten und ob es globale Min/Max gibt. Ist f zweimal differenzierbar auf [mm] \mathbb{R}? [/mm]

Hallo,
Würde mich über Korrektur freuen;)

Die Differenzierbarkeit für x>1,x<1 ist klar als Verknüpfung differenzierbarer Funktionen: [mm] (3x^2+2x)'=6x+2, [/mm] (8x-3)'=8
Für x=1: Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] x_n\to1(n\to\infty) [/mm] und [mm] x_n>1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(x_n)-f(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8x_n-3-5}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8(x_n-1)}{x_n-1}=8 [/mm]
Sei [mm] (y_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] y_n\to1(n\to\infty)und y_n<1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(y_n)-f(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3y_n^2+2y_n-5}{y_n-1} [/mm]
Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6y_n+2}{1}=8 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Linksseitige und Rechtsseitige Ableitung stimmen überein in x=1, also ist f differenzierbar.



Lokale Extrema
f'(x)=0 [mm] \iff \begin{cases}6x+2=0 &\Rightarrow L=\{-1/3\} \\ 8=0, & \Rightarrow L=\{\emptyset\} \end{cases} [/mm]
f''(-1/3)=6*(-1/3)=-2<0
Bei x=-1/3 ist ein lokales Maximum


Monotonie
Für x>-1/3 ist f(x) streng monoton steigend
Für x<-1/2 ist f(x) streng monoton fallend
Für x=-1/3 haben wir eine horizintale Tangente


globale Max/Min:
Zähle ich hier die Randpunkt auch dazu?
Sonst hab ich ja nur ein lokales Max, was dann doch automatisch auch globales Max ist.


Differenzierbarkeit von f'(x):
f'(x) ist in x=1 nicht differenzierbar,da:
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] x_n\to1(n\to\infty)und x_n>1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(x_n)-f'(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6x_n+2-8}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6(x_n-1)}{x_n-1}=6 [/mm]
Sei [mm] (y_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] y_n\to1(n\to\infty) [/mm] und [mm] y_n<1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(y_n)-f'(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8-8}{y_n-1} [/mm]
Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{0}{1}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Linksseitige und rechtsseitige Ableitung stimmen nicht überein.

LG,
sissi

        
Bezug
globaleMax/Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mo 12.01.2015
Autor: fred97


> [mm]f:\IR\to\IR[/mm]
>  [mm]f(x)=\begin{cases} 3x^2+2x, & \mbox{für } x\le1 \\ 8x-3, & \mbox{für }x>1 \end{cases}[/mm]
>  
> Überprüfen Sie Differenzierbarkeit auf [mm]\IR,[/mm] lokale
> Extrema, Monotonieverhalten und ob es globale Min/Max gibt.
> Ist f zweimal differenzierbar auf [mm]\mathbb{R}?[/mm]
>  Hallo,
>  Würde mich über Korrektur freuen;)
>  
> Die Differenzierbarkeit für x>1,x<1 ist klar als
> Verknüpfung differenzierbarer Funktionen: [mm](3x^2+2x)'=6x+2,[/mm]
> (8x-3)'=8
>  Für x=1: Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in
> [mm]\mathbb{R}[/mm] mit [mm]x_n\to1(n\to\infty)[/mm] und [mm]x_n>1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(x_n)-f(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8x_n-3-5}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8(x_n-1)}{x_n-1}=8[/mm]
>  
> Sei [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]y_n\to1(n\to\infty)und y_n<1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(y_n)-f(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3y_n^2+2y_n-5}{y_n-1}[/mm]
>  
> Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
>  [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6y_n+2}{1}=8[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> Linksseitige und Rechtsseitige Ableitung stimmen überein
> in x=1, also ist f differenzierbar.

O.K.


>  
>
>
> Lokale Extrema
>  f'(x)=0 [mm]\iff \begin{cases}6x+2=0 &\Rightarrow L=\{-1/3\} \\ 8=0, & \Rightarrow L=\{\emptyset\} \end{cases}[/mm]
>  
> f''(-1/3)=6*(-1/3)=-2<0

das stimmt nicht. Es ist  f''(-1/3)=6>0.


>  Bei x=-1/3 ist ein lokales Maximum
>  
>
> Monotonie
>  Für x>-1/3 ist f(x) streng monoton steigend
>  Für x<-1/2 ist f(x) streng monoton fallend

Da hast Du Dich sicher vertippt. Es lautet: Für  x<-1/3 ....




>  Für x=-1/3 haben wir eine horizintale Tangente
>  
>
> globale Max/Min:
>  Zähle ich hier die Randpunkt auch dazu?

Welche Randpunkte ? [mm] \IR [/mm] hat keine Randpunkte.


>  Sonst hab ich ja nur ein lokales Max


Nein. Ein lokales Min.

> , was dann doch
> automatisch auch globales Max ist.

glabales Min.


>  
>
> Differenzierbarkeit von f'(x):
>  f'(x) ist in x=1 nicht differenzierbar,da:
>  Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]x_n\to1(n\to\infty)und x_n>1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(x_n)-f'(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6x_n+2-8}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6(x_n-1)}{x_n-1}=6[/mm]
>  
> Sei [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]y_n\to1(n\to\infty)[/mm] und [mm]y_n<1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(y_n)-f'(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8-8}{y_n-1}[/mm]
>  
> Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:

Waaaaas ???? Für

    [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8-8}{y_n-1}[/mm] [/mm]

bemühst Du l'Hospital ? Nicht zu fassen !

Es ist  [mm] \frac{8-8}{y_n-1} [/mm] =0 für alle n.


>  [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{0}{1}=0[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> Linksseitige und rechtsseitige Ableitung stimmen nicht
> überein.

O.K.


FRED

>  
> LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
globaleMax/Differenzierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Mo 12.01.2015
Autor: sissile

danke;)
lg, sissi

Bezug
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