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| Aufgabe | An welchen Stellen besitzt die Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] lokale oder globale Extrema bzw. Sattelpunkte?
f(x,y) = [mm] x^{4}+\bruch{3}{4}y^{\bruch{8}{3}}-4xy-y^{2} [/mm] D = {(x,y) | y>0} |
Hallo zusammen,
Ich habe als möglichen Kandidaten (0,0) [mm] (-\wurzel{2},-2*\wurzel{2}) [/mm] und [mm] (\wurzel{2},2*\wurzel{2}) [/mm] ausgemacht, wobei nur der letzte in Frage kommt, da y >0 gelten soll.
Mit Hilfe der Hesse Matrix habe ich für diesen punkt ein lokales minimum festgestellt, da die eigenwerte 16 und 26 lauteten.
Wie überprüfe ich nun, ob vielleicht sogar ein globales minimum vorliegt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> An welchen Stellen besitzt die Funktion f: D [mm]\to \IR[/mm] lokale
> oder globale Extrema bzw. Sattelpunkte?
> f(x,y) = [mm]x^{4}+\bruch{3}{4}y^{\bruch{8}{3}}-4xy-y^{2}[/mm]
> D = {(x,y) | y>0}
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe als möglichen Kandidaten (0,0)
> [mm](-\wurzel{2},-2*\wurzel{2})[/mm] und [mm](\wurzel{2},2*\wurzel{2})[/mm]
> ausgemacht, wobei nur der letzte in Frage kommt, da y >0
> gelten soll.
> Mit Hilfe der Hesse Matrix habe ich für diesen punkt ein
> lokales minimum festgestellt, da die eigenwerte 16 und 26
> lauteten.
> Wie überprüfe ich nun, ob vielleicht sogar ein globales
> minimum vorliegt?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nachgerechnet habe ich nichts.
Du solltest nun den zum Minimum gehörigen Funktionswert berechnen.
Um zu entscheiden, ob der global ist, mußt Du die Ränder des Definitionsbereiches anschauen, also gucken, was für [mm] y\to [/mm] 0, x [mm] \to \pm\infty, y\to \pm\infty [/mm] passiert.
Oder wenn es Dir gelingt, die Funktionsgleichung so hinzuschreiben, daß man direkt sieht, daß das nie kleiner als [mm] f(\wurzel{2},2*\wurzel{2}) [/mm] werden kann, geht das auch.
Gruß v. Angela
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Erstmal vielen Dank für die Antwort. Das ging ja schnell.
Aber ich habe noch eine Frage dazu:
Wenn ich z.B. x [mm] \to \infty [/mm] streben lasse, was mache ich dann in dem Augenblick mit y? bleibt das dann [mm] 2\wurzel{2}?
[/mm]
Ich tue mich mit zwei Veränderlichen noch ein wenig schwer.
Soll ich also beim Betrachten der Bereichsgrenzen immer nur eine Variable an die Grenze führen oder wie?
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>f(x,y) = $ [mm] x^{4}+\bruch{3}{4}y^{\bruch{8}{3}}-4xy-y^{2} [/mm] $ D = [mm] \{(x,y) | y>0\} [/mm]
Hallo,
ich habe mir das jetzt so überlegt:
f(x,y) [mm] =x^{4}+\bruch{3}{4}y^{\bruch{8}{3}}-4xy-y^{2}
[/mm]
= [mm] x^{4}+\bruch{3}{4}y^{\bruch{8}{3}}-4x^2+4x^2-4xy-+y^2-y^2-y^{2}
[/mm]
[mm] =x^4-4x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}y^2(y^{\bruch{2}{3}} [/mm] - 2) + [mm] (2x-y)^2
[/mm]
Und jetzt schaue ich mir an, was an den Rändern passiert.
Wenn [mm] y\to [/mm] 0 geht, dann geht [mm] f(x,y)\to x^4\ge [/mm] 0
Wenn [mm] y\to [/mm] infty , x:=a const.
f(a,y)= [mm] a^4-4a^2 [/mm] + [mm] \underbrace{\bruch{3}{4}y^2(y^{\bruch{2}{3}} - 2)}_{\to\infty} +\underbrace{(2a-y)^2}_{\to\infty} \quad \to \infty
[/mm]
Wenn [mm] x\to \pm\infty [/mm] , y:=b const.
[mm] f(x,b)=\underbrace{x^4-4x^2}_{\to \infty} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}b^2(b^{\bruch{2}{3}} [/mm] - 2) + [mm] \underbrace{(2x-b)^2}_{\to \infty} \quad \to \infty
[/mm]
Wenn [mm] x\to \pm\infty [/mm] , [mm] y\to \infty
[/mm]
f(x,y)= [mm] x^4-4x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}y^2(y^{\bruch{2}{3}} [/mm] - 2) + [mm] (2x-y)^2 \ge \underbrace{x^4-4x^2}_{\to \infty} +\underbrace{ \bruch{3}{4}y^2(y^{\bruch{2}{3}} - 2)}_{\to \infty} \quad \to \infty
[/mm]
Gruß v. Angela
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