globale Lösung einer DGl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:36 So 24.04.2005 | | Autor: | Cardmaker |
Hallo,
ich habe da mal eine Frage zu 2 Sätzen, vielleicht weiss ja jemand eine Antwort dazu.
Es geht um den folgenden Satz: "Es sei D ein Gebiet in R^(n+1) und f(x,y) stetig diffbar in D. Ferner sei [mm] (x0,y0)\in [/mm] D. Dann besitzt das Anfangswertproblem y' = f(x,y), y(x0)=y0 genau eine Lösung, die nach links und rechts dem Rand von D beliebig nahe kommt." Dabei sind y und f vektorielle Funktionen.
Bei dem Satz, dass eine Lösung dem Rand von D beliebig nahe kommt, ist hierbei gemeint: y(x) existiert im Intervall [x0,a) und eine der folgenden Situationen liegt vor:
1, a = Unendlich: Die Lsg. y(x) existiert für alle x mit x0 [mm] \le [/mm] a
2, a < Unendlich: Es existiert eine Folge {xn} mit xn<a und [mm] xn\to [/mm] a für n [mm] \to [/mm] a, so dass [mm] |y(xn)|\to [/mm] Unendlich (y(x) wächst über alle Grenzen).
3, a < Unendlich: Es existiert eine Folge {xn} mit xn<a und [mm] xn\to [/mm] a für n [mm] \to [/mm] a, so dass d((xn,y(xn)),Rand von [mm] D)\to [/mm] 0 für [mm] n\to [/mm] Unendlich. Dabei bedeutet d((xn,y(xn)),Rand von D) den Abstand des Punktes (x,y(x)) vom Rand von D.
Nun ist aus diesem Satz eine Folgerung entstanden:
"Für den Spezialfall D=R [mm] \times R^n [/mm] gilt: ist das maximale Existenzintervall I=(xl,xr) nach oben (bzw. nach unten) beschränkt, so gilt für jede Folge {xk} mit [mm] xk\to [/mm] xr-0 (bzw. [mm] xk\toxl+0), [/mm] dass [mm] |y(xk)|\to [/mm] Unendlich für [mm] k\to [/mm] Unendlich."
An dieser Stelle verstehe ich eine Sache nicht. Warum steht in der Folgerung "jede Folge", wobei doch im Hauptsatz "den Rand beliebig nahe kommt" im Fall 2 und 3 (von beliebig nahe kommt) nur immer steht "eine Folge". Ist das falsch, oder übersehe ich da eine Sache?
Vielen Dank schonmal im Voraus
Gruß
Marco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 So 24.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Cardmaker,
leider war Vektoranalysis nie meine Stärke ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") . Deshalb habe ich eine Frage zu den Begriffen in Deinem Artikel.
Ein Intervall kann ich mir im mehrdimensionalen Raum noch komponentenweise definiert vorstellen - aaaber: Was soll im [mm] $\IR^{n+1}$ [/mm] links und rechts sein?
Zu Deiner Frage:
Wenn in mathematischen Aussagen behauptet wird, es gebe ein wasauchimmer mit einer gewissen Eigenschaft, meint dies: kann schon sein, dass es zwei, siebzehn oder unendlich viele wasauchimmers gibt, aber uns interessiert nur, dass es überhaupt eines gibt.
So ist zum Beispiel die Aussage "Es gibt eine natürliche Zahl n mit der Eigenschaft, dass n größer als 5 ist ( [mm] \exists\ n \in \IN: n > 5 [/mm] )" richtig.
Wenn es um Eindeutigkeit geht, wird das Wörtchen genau verwendet: "Es gibt genau eine ganze Zahl, deren Quadrat kleiner als eins ist ($ [mm] \exists\,!\ [/mm] z [mm] \in \IZ: z^{2} [/mm] < 1$ (beachte das Ausrufezeichen!))".
Ich hoffe, etwas Licht in die Angelegenheit gebracht zu haben,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Cardmaker |
Hallo,
es geht hier um das Lösen eines Dgl.-Systems, wobei die Lösung y(x) eine Vektorielle Funktion ist, wobei y [mm] \in R^n [/mm] ist und x [mm] \in [/mm] R ist. Deswegen lässt sich links und rechts verwenden, weil die unabhängige Variable nur aus R ist.
Mein Problem ist, dass hier von der Konvergenz einer Folge auf die Konvergenz aller Folgen geschlussfolgert wird. Vielleicht weiss ja jemand, ob das richtig oder falsch ist.
Gruß
Cardmaker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:05 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
> Hallo,
>
> es geht hier um das Lösen eines Dgl.-Systems, wobei die
> Lösung y(x) eine Vektorielle Funktion ist, wobei y [mm]\in R^n[/mm]
> ist und x [mm]\in[/mm] R ist. Deswegen lässt sich links und rechts
> verwenden, weil die unabhängige Variable nur aus R ist.
>
Vielen Dank.
> Mein Problem ist, dass hier von der Konvergenz einer Folge
> auf die Konvergenz aller Folgen geschlussfolgert wird.
> Vielleicht weiss ja jemand, ob das richtig oder falsch
> ist.
>
> Gruß
> Cardmaker
Aus 1. bis 3. alleine lässt sich das m.E. nicht schließen. Habt ihr nicht noch zusätzlich gezeigt, dass wenn das Existenzintervall beschränkt ist, das Gebiet unbeschränkt sein muss? Leider ist das bei mir alles schon so lange her und ich habe keine große Lust, mich da wieder 'reinzulesen. Dennoch bin ich "vom Bauch her" der Meinung, dass das etwas mit offenen Überdeckungen und/oder Folgenkompaktheit zu tun haben müßte. Ich werde mich aus diesem Thema lieber 'raushalten...
Viel Erfolg,
Peter
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