goldener Schnitt < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 Do 11.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
| Aufgabe | Sei |AB| eine Strecke der Länge a. Ein Punkt S von |AB| teilt diese im goldenenen Schnitt, wenn sich die größere Teilstrecke M zur kleineren m verhält, wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil.
S teilt also |AB| im goldenen Schnitt, wenn a/M=M/m gilt.
a) Zeigen Sie, daß x=M/m der quadratischen Gleichung x²-x-1=0 genügt und bestimmen Sie dieses Teilungsverhältnis (Hinweis: a=M+m)
b)Begründen Sie, daß die zweite Lösung dieser quadratischen Gleichung gerade das Verhältnis m/M beschreibt. |
Hallo zusammen,
würde mich freuen, wenn jemand mir bei der Aufgabe ein bissl helfen kann.
Lg pagnucco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Do 11.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu a):
Wir haben: a/M = M/m, also [mm] M^2 [/mm] = am.
Weiter ist a = M+m.
Mit x = M/m ist
x²-x-1 = [mm] (M/m)^2 [/mm] -M/m -1 = [mm] M^2/m^2 [/mm] - M/m -1 = [mm] (am)/m^2 [/mm] - M/m -1
= a/m- M/m -1 = (M+m)/m - M/m -1 = M/m +1 -M/m -1 = 0
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Do 11.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu b):
Zeige ebenso, dass m/M die qudratische Gl. erfüllt.
FRED
Nachtrag: obiges lässt sich nicht zeigen. Siehe unten
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Do 11.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
Danke, gut nachvollziehbar.
zu b) m²/M²-m/M-1=0 => m²/am-m/M-1=0 => m/a-m/M-1=0 => m/M+m-m/M-1=0 => m/M +1 - m/M -1=0 , somit ist die Gleichung erfüllt. Ist das so richtig?
Lg pagnucco
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Hallo Pagnucco,
> Danke, gut nachvollziehbar.
>
> zu b) m²/M²-m/M-1=0 => m²/am-m/M-1=0 => m/a-m/M-1=0 =>
> m/M+m-m/M-1=0 => m/M +1 - m/M -1=0
kannst du mal den letzten Schritt erklären - der kann nicht stimmen
Gruß
Adamantan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Do 11.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
hi
stimmt, wenn ich genau überlege ist m/M+m ja gar nicht m/M +1, hm?
jetzt bin ich ein bissl ratlos 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:51 Do 11.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
weiss vielleicht jemand rat?
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> stimmt, wenn ich genau überlege ist m/M+m ja gar nicht m/M
> +1, hm?
Hallo,
bitte verwende den Formeleditor und schreibe richtige Brüche, oder verwende zumindest Klammern an den Stellen, wo sie hingehören.
Nein, [mm] \bruch{m}{M+m} [/mm] istverschieden von [mm] \bruch{m}{M}+1, [/mm]
und [mm] \bruch{m}{M}+m [/mm] ist verschieden von [mm] \bruch{m}{M}+1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 11.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
nachdem ich nun m/M in die Gleichung eingesetzt habe bekomme ich nun aber nicht das gewünschte Ergebnis raus. Ich komme immer wieder auf folgende quadratische Gleichung: M²+Mm+m²=0???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 11.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> nachdem ich nun m/M in die Gleichung eingesetzt habe
> bekomme ich nun aber nicht das gewünschte Ergebnis raus.
> Ich komme immer wieder auf folgende quadratische Gleichung:
> M²+Mm+m²=0???
Was ich oben geschrieben habe lässt sich nicht (!!!) zeigen.
""Zu b):
Zeige ebenso, dass m/M die qudratische Gl. erfüllt."
Es ist nämlich falsch !! m/M ist keine Lösung der Gl [mm] x^2 [/mm] -x -1 = 0 !!
Warum ?
Zunächst ist m/M > 0. Obige Gl. hat die Lösungen (1 + [mm] \wurzel{5})/2 [/mm] und (1 - [mm] \wurzel{5})/2. [/mm] Die erste Lösung ist M/m und die zweite Lösung ist < 0 kann also nicht = m/M sein.
Ist die Aufgabenstellung in b) von Dir korrekt wiedergegeben worden ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 11.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
Hallo Fred97,
Ja eigentlich schon. ich soll beweisen das die zweite Lösung der quadratischen Gleichung gerade das Verhältnis m/M beschreibt. Mehr steht da nicht.
Ich glaube nämlich, dass ich probleme habe die Fragestellung richtig zu deuten, z.B. frage ich mich auch was in a) mit Teilverhältnissen gemeint ist?
Auf deine Lösung kam ich bei meinen Rechenversuchen übrigens auch, nur wusste ich nicht ganz ob es stimmte.
Lg pagnucco
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> Ja eigentlich schon. ich soll beweisen das die zweite
> Lösung der quadratischen Gleichung gerade das Verhältnis
> m/M beschreibt. Mehr steht da nicht.
Hallo,
ich könnt' mir vorstellen, daß da steht, daß Du zeigen sollst, daß der Betrag der zweiten Lösung gerade [mm] \bruch{m}{M} [/mm] ist.
> Ich glaube nämlich, dass ich probleme habe die
> Fragestellung richtig zu deuten, z.B. frage ich mich auch
> was in a) mit Teilverhältnissen gemeint ist?
Die Lösungen von [mm] x^2-x-1=0 [/mm] sind [mm] x_1,x_2=\bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}, [/mm] das solltest Du inzwischen ausgerechnet haben.
Weiter hast Du gezeigt, daß [mm] x=\bruch{M}{m} [/mm] die Gleichung löst, und da für [mm] \bruch{M}{m} [/mm] nur ein positive Ergebnis infrage kommt, muß [mm] \bruch{M}{m}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] sein.
Meine hellseherischen Fähigkeiten nutzend sage ich: nun sollst Du zeigen, daß [mm] \bruch{n}{M}=|\bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm] | richtig ist, daß also [mm] \bruch{n}{M}=-\bruch{1-\wurzel{5}}{2}.
[/mm]
Und das gelingt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Fr 12.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
| Aufgabe | | und da für $ [mm] \bruch{M}{m} [/mm] $ nur ein positive Ergebnis infrage kommt |
Hi angela,
danke für den Tipp, langsam seh ich Licht im Tunnel
Eine doofe Frage trotzdem, warum kommt nur ein positives Ergebnis in Frage?
Lg pagnucco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo pagnucco!
Wir reden ja die ganze Zeit über geometrische Strecken und deren Verhältnisse zueinander.
Und für die Längen dser Strecken (einschl. Verhältnisse) sind selbstverständlich nur positive Werte sinnvoll.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Fr 12.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
| Aufgabe | | Meine hellseherischen Fähigkeiten nutzend sage ich: nun sollst Du zeigen, daß $ [mm] \bruch{n}{M}=|\bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm] $ | richtig ist |
Erst einmal danke an alle, das Ergebnis stimmt jetzt. Doch um noch einmal auf angela's hellseherische Fähigkeiten zurückzukommen. Das wäre auch gleichzeitig meine letzte Frage,wie kam sie darauf? Im Endeffekt ist mir nur noch nicht klar,warum jetzt $ [mm] \bruch{n}{M}=|\bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm] $ | ist?
Lg pagnucco
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> Meine hellseherischen Fähigkeiten nutzend sage ich: nun
> sollst Du zeigen, daß [mm]\bruch{n}{M}=|\bruch{1-\wurzel{5}}{2}[/mm]
> | richtig ist
> Erst einmal danke an alle, das Ergebnis stimmt jetzt. Doch
> um noch einmal auf angela's hellseherische Fähigkeiten
> zurückzukommen. Das wäre auch gleichzeitig meine letzte
> Frage,wie kam sie darauf?
Hallo,
die große Hellseherin packt aus:
da die zweite Lösung negativ ist, mußte ich doch bloß überlegen, welche Feinheit der Formulierung beim Nacherzählen der Aufgabenstellung unter den Tisch fallen sein könnte.
Das war hier "der Betrag".
Im Endeffekt ist mir nur noch
> nicht klar,warum jetzt
> [mm] \bruch{n}{M}=|\bruch{1-\wurzel{5}}{2}| [/mm] ist?
Also erstens mal ist das n ein Tippfehler von mir, das sollte m heißen, und zweitens dachte ich, Du hättest es jetzt ausgerechnet. (?)
Es ist halt [mm] \bruch{\wurzel{5}-1}{2} [/mm] der Kehrwert von [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}.
[/mm]
Hmmm - habe ich Deine Frage vielleicht nicht richtig verstanden?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 12.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
| Aufgabe | | Es ist halt $ [mm] \bruch{\wurzel{5}-1}{2} [/mm] $ der Kehrwert von $ [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}. [/mm] $ |
ich dachte immer der Kehrwert eines Bruchs ist z.B. von 5/4 gleich 4/5? So oder so ähnlich stehts auf jeden Fall in Wikipedia.
das ist ja genau das was mich verwirrt !
Lg pagnucco
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> Es ist halt [mm]\bruch{\wurzel{5}-1}{2}[/mm] der Kehrwert von
> [mm]\bruch{1+\wurzel{5}}{2}.[/mm]
> ich dachte immer der Kehrwert eines Bruchs ist z.B. von
> 5/4 gleich 4/5?
Hallo,
damit liegst Du goldrichtig!
Vielleicht erkenne ich jetzt Dein Problem:
der Kehrwert von [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] ist
[mm] \bruch{2}{1+\wurzel{5}}.
[/mm]
Und diesen Bruch kannst Du umformen zu [mm] \bruch{\wurzel{5}-1}{2}.
[/mm]
Tip: erweitere (also im Zähler und Nenner damit multiplizieren) [mm] \bruch{2}{1+\wurzel{5}} [/mm] mit [mm] (1-\wurzel{5}).
[/mm]
Gruß v. Angela
So oder so ähnlich stehts auf jeden Fall in
> Wikipedia.
>
> das ist ja genau das was mich verwirrt !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Fr 12.09.2008 | | Autor: | pagnucco |
| Aufgabe | der Kehrwert von $ [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] $ ist
$ [mm] \bruch{2}{1+\wurzel{5}}. [/mm] $
Und diesen Bruch kannst Du umformen zu $ [mm] \bruch{\wurzel{5}-1}{2}. [/mm] $
Tip: erweitere (also im Zähler und Nenner damit multiplizieren) $ [mm] \bruch{2}{1+\wurzel{5}} [/mm] $ mit $ [mm] (1-\wurzel{5}). [/mm] $
Gruß v. Angela |
Hm?
ok Erweiterung gemacht und aufs selbe Ergebnis gekommen...
Nur beim einsetzen kommt nicht das gewünschte Ergebnis raus. Ich würde jetzt auch keine Lösung rausbekommen? D.h. eine unwahre Aussage.
Meine Antwort wäre jetzt, dass der Kehrwert von M/m gerade nicht die zweite Lösung der quadratischen Gleichung beschreibt???
weitere Anmerkungen sind gerne gesehen.
Lg pagnucco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Fr 12.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie Angela schon sagte:
Die 2. Lösung der quadratischen Gl. ist -m/M
FRED
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