goniometrische Gleichung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Di 18.01.2011 | | Autor: | mueller |
| Aufgabe | Bestimme diejenigen Lösungen der goniometrischen Gleichung, die im angegebenen Intervall liegen.Ist kein Intervall angegeben, so sind alle Lösungen dr Gleichungen gesucht.
0,8*sin [mm] (\bruch{1}{4} [/mm] x)+3=3,2 |
Ok ich habe die erste Lösung ausgerechnet und bin auf x=1,012 gekommen. Um alle Lösungen anzugeben habe ich die Periode ausgerechnet mit [mm] \bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}
[/mm]
Aber wie kann ich jetzt weiterrechnen, oder ist das ergebnis
1,012 [mm] \pm \bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}
[/mm]
Danke für Eure Hilfe und Grüße
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Hallo mueller,
> Bestimme diejenigen Lösungen der goniometrischen
> Gleichung, die im angegebenen Intervall liegen.Ist kein
> Intervall angegeben, so sind alle Lösungen dr Gleichungen
> gesucht.
> 0,8*sin [mm](\bruch{1}{4}[/mm] x)+3=3,2
> Ok ich habe die erste Lösung ausgerechnet und bin auf
> x=1,012 gekommen. Um alle Lösungen anzugeben habe ich die
Das ist ein geringfügig anderer Wert für x:
[mm]x \approx 0.10107[/mm]
Es gibt noch einen zweiten x-Wert für den
[mm]0,8*sin(\bruch{1}{4}x)+3=3,2[/mm]
erfüllt ist.
Alle Lösungen erhältst Du dann mit Berücksichtigung der Periode.
> Periode ausgerechnet mit [mm]\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}[/mm]
> Aber
> wie kann ich jetzt weiterrechnen, oder ist das ergebnis
> 1,012 [mm]\pm \bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}[/mm]
Siehe oben.
>
> Danke für Eure Hilfe und Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 18.01.2011 | | Autor: | mueller |
Ups Danke,ich habe jetzt auch nachgerechnet komme aber auf 1,0107.
Mit der Periode von $ [mm] \bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}} [/mm] $ hab ich da recht?
ist es dann 1,0107 [mm] \pm [/mm] $ [mm] \bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}} [/mm] $
Grüße
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Hallo mueller,
> Ups Danke,ich habe jetzt auch nachgerechnet komme aber auf
> 1,0107.
> Mit der Periode von [mm]\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}[/mm] hab ich
> da recht?
Natürlich hast Du da recht.
> ist es dann 1,0107 [mm]\pm[/mm] [mm]\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}[/mm]
Da die Lösung periodisch ist muss hier stehen:
[mm]1,0107 +k*\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}, \ k \in \IZ[/mm]
Wie gesagt es gibt noch einen zweiten Wert [mm]x \not=1,0107[/mm]
der die genannte Gleichung erfüllt.
>
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 18.01.2011 | | Autor: | mueller |
ist der zweite Wert [mm] \pi [/mm] -1,0107=2,13?
Grüße
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Hallo mueller,
> ist der zweite Wert [mm]\pi[/mm] -1,0107=2,13?
Nein.
An welchen 2 Stellen [mm]z_{1}, z_{2}[/mm] im Intervall [mm]\left[0,\pi\right][/mm] gilt
[mm]\sin\left(z_{1}\right)=\sin\left(z_{2}\right)=\bruch{1}{4}[/mm] ?
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 18.01.2011 | | Autor: | mueller |
Ich hätte gesagt im Intervall von $ [mm] \left[0,\pi\right] [/mm] $ gibt es diesen Wert nur einmal. 1/4 ist doch der y-Wert oder?
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Hallo mueller.
> Ich hätte gesagt im Intervall von [mm]\left[0,\pi\right][/mm] gibt
> es diesen Wert nur einmal. 1/4 ist doch der y-Wert oder?
>
Es gibt diesen Wert zweimal, da der Sinus in diesem Intervall
symmetrisch zu [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ist.
Ja, [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ist der y-Wert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 18.01.2011 | | Autor: | mueller |
ich habe die Kurve gezeichnet und würde sagen in der Nähe von 10, wie kann ich es aber exakt ausrechnen?
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Hallo mueller,
> ich habe die Kurve gezeichnet und würde sagen in der Nähe
> von 10, wie kann ich es aber exakt ausrechnen?
Nun, [mm]z_{1}[/mm] erfült die Gleichung
[mm]\sin\left(z_{1}\right)=\bruch{1}{4}[/mm]
Da der Sinus symmetrisch ist, muß gelten:
[mm]\bruch{\pi}{2}-u\right)=z_{1}[/mm]
Und für die zweite Lösung gilt dann:
[mm]\bruch{\pi}{2}+u=z_{2}[/mm]
(Das gilt, da [mm]\sin\left(\bruch{\pi}{2}-u\right)=\sin\left(\bruch{\pi}{2}+u\right)[/mm] )
Addiert man diese beiden Gleichungen, so muß gelten:
[mm]\pi=z_{1}+z_{2}[/mm]
Daraus erhältst Du [mm]z_{2}[/mm], damit auch den zweiten x-Wert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 18.01.2011 | | Autor: | mueller |
wenn gilt:
[mm] \pi [/mm] = [mm] z_{1}-z_{2}
[/mm]
[mm] \pi-z_{1}=z_{2}=3,14-1,0107=2,13 [/mm] hatte ich doch oben geschrieben, oder verstehe ich es falsch?
Neu:
Alllgemein:
$ 1,0107 [mm] +k\cdot{}\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}, [/mm] \ k [mm] \in \IZ [/mm] $
$ 2,13 [mm] -k\cdot{}\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}, [/mm] \ k [mm] \in \IZ [/mm] $
Ist es richtig?
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:31 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mueller |
oder ist es :
$ 2,13 [mm] +k\cdot{}\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}, [/mm] \ k [mm] \in \IZ [/mm] $
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> oder ist es :
> [mm]2,13 +k\cdot{}\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}, \ k \in \IZ[/mm]
nachgerechnet habe ich nichts, aber ich frage mich, wie
du es fertigbringst, einen Ausdruck wie [mm] \bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}
[/mm]
über mehrere Revisionen hinweg so mitzuschleppen, ohne
auf die Idee zu kommen, ihn endlich zu vereinfachen !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mueller |
hallo,
ich finde $ [mm] \bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}} [/mm] $ nich so hässlich wobei natürlich [mm] 8\pi [/mm] schöner ist.
Aber würde mein Ergebnis stimmen?
GRüße
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Hallo mueller,
> oder ist es :
> [mm]2,13 +k\cdot{}\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}, \ k \in \IZ[/mm]
Siehe diesen Artikel.
Gruss
MathePower
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Hallo mueller,
> wenn gilt:
> [mm]\pi[/mm] = [mm]z_{1}-z_{2}[/mm]
> [mm]\pi-z_{1}=z_{2}=3,14-1,0107=2,13[/mm] hatte ich doch oben
> geschrieben, oder verstehe ich es falsch?
> Neu:
> Alllgemein:
> [mm]1,0107 +k\cdot{}\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}, \ k \in \IZ[/mm]
>
> [mm]2,13 -k\cdot{}\bruch{2 \pi}{\bruch{1}{4}}, \ k \in \IZ[/mm]
>
> Ist es richtig?
[mm]z_{1}[/mm] ist doch [mm]\arcsin\left(\bruch{1}{4}\right)[/mm].
Somit ist [mm]z_{2}=\pi-z_{1}=\pi-\arcsin\left(\bruch{1}{4}\right)[/mm]
Als reine Zahl angegeben ist
[mm]z_{1}\approx 0,25608, \ z_{2} \approx 2,8889[/mm]
Lösungen sind demnach
[mm]z=z_{1}+2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
[mm]z=z_{2}+2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
Um auf die Lösungen in x zu kommen,
mußt Du diese Lösungen noch mit 4 multiplizieren.
> Grüße
Gruss
MathePower
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> [mm]z_{1}[/mm] ist doch [mm]\arcsin\left(\bruch{1}{4}\right)[/mm].
>
> Somit ist
> [mm]z_{2}=\pi-z_{1}=\pi-\arcsin\left(\bruch{1}{4}\right)[/mm]
>
> Als reine Zahl angegeben ist
>
> [mm]z_{1}\approx 0,25608[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
richtig wäre: 0,252680....
> [mm]\ z_{2} \approx 2,8889[/mm]
>
> Lösungen sind demnach
>
> [mm]z=z_{1}+2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
>
> [mm]z=z_{2}+2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
>
> Um auf die Lösungen in x zu kommen,
> mußt Du diese Lösungen noch mit 4 multiplizieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mueller |
Warum muss ich mit 4 multiplizieren?
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Hallo mueller,
> Warum muss ich mit 4 multiplizieren?
Weil [mm]z=\bruch{x}{4}[/mm] gesetzt wurde.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mueller |
Hallo hoffentlich strapaziere ich nicht Eure Nerven aber hier wie ich es verstanden habe:
0,8 sin [mm] (\bruch{1}{4} [/mm] x)+3=3,2
[mm] 0,8*sin(\bruch{1}{4} x)=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] x=arcsin [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} x\approx [/mm] 0,253
[mm] x_{1}\approx [/mm] 1,0107
[mm] \pi- x_{1}=x_{2}=2,1
[/mm]
[mm] z_{1}=1,0107+8k\pi [/mm] k [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] z_{2}=2,1309+8k\pi [/mm] k [mm] \in \IZ
[/mm]
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> Hallo hoffentlich strapaziere ich nicht Eure Nerven
... dazu fehlt aber wahrlich nicht mehr viel ...
> aber hier wie ich es verstanden habe:
> 0,8 sin [mm](\bruch{1}{4}[/mm] x)+3=3,2
> [mm]0,8*sin(\bruch{1}{4} x)=\bruch{1}{4}[/mm]
> x=arcsin [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{4} x\approx[/mm] 0,253
> [mm]x_{1}\approx[/mm] 1,0107 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\pi- x_{1}=x_{2}=2,1[/mm]
>
> [mm]z_{1}=1,0107+8k\pi[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm]
> [mm]z_{2}=2,1309+8k\pi[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm]
(am Ende sind die Lösungen für x gefragt, nicht die z !)
MathePower hat sich schon große Mühe gegeben, dir
klar zu machen, dass nicht [mm] x_1+x_2=\pi [/mm] ist, sondern [mm] z_1+z_2=\pi
[/mm]
wobei jeweils $\ [mm] z_i\ [/mm] =\ [mm] \frac{x_i}{4}$ [/mm] sein soll. Du scheinst
aber diese Variablen (die x und die z) fast nach Belieben
rum zu jonglieren ...
LG Al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mueller |
ups muss natürlich lauten : $ [mm] \cdot{}sin(\bruch{1}{4} x)=\bruch{1}{4} [/mm] $
ich dachte x ist das erste Ergebnis und z ist allgemein für alle K [mm] \in \IZ
[/mm]
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Hallo mueller,
> ups muss natürlich lauten : [mm]\cdot{}sin(\bruch{1}{4} x)=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> ich dachte x ist das erste Ergebnis und z ist allgemein
> für alle K [mm]\in \IZ[/mm]
z ist das erste Ergebnis, x das endgültige Ergebnis.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mueller |
ok danke erstes Missverständins geklärt, hoffentlich auch das Zweite hier mein Ergebnis:
$ [mm] x_{2}=2,1309+8k\pi [/mm] $ [mm] x\in\IZ
[/mm]
$ [mm] x_{1}=1,0107+8k\pi [/mm] $ [mm] x\in\IZ [/mm]
Grüße
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Hallo mueller,
> ok danke erstes Missverständins geklärt, hoffentlich auch
> das Zweite hier mein Ergebnis:
> [mm]x_{2}=2,1309+8k\pi[/mm] [mm]x\in\IZ[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]x_{2}=\red{11,5556}+8k\pi, \ \blue{k}\in\IZ[/mm]
> [mm]x_{1}=1,0107+8k\pi[/mm] [mm]x\in\IZ[/mm]
Kleiner Schreibfehler:
[mm]x_{1}=1,0107+8k\pi, \ \blue{k}\in\IZ[/mm]
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mueller |
ups k und x vertauscht.
Woher kommt aber die 11,5556? In meiner Zeichnung kann ich es sehen, aber wie kann ich es berechnen?
Danke!
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Hallo mueller,
> ups k und x vertauscht.
> Woher kommt aber die 11,5556? In meiner Zeichnung kann ich
> es sehen, aber wie kann ich es berechnen?
Die erste Lösung ergibt sich zu
[mm]x_{1}=4*\arcsin\left(\bruch{1}{4}\right)[/mm]
Da sich [mm]x_{1}[/mm] im Intervall [mm]0,4\pi\right][/mm] befindet,
ergibt sich die zweite Lösung in diesem Intervall zu:
[mm]x_{2}=4\pi-x_{1}=4\pi-4*\arcsin\left(\bruch{1}{4}\right)[/mm]
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Mi 19.01.2011 | | Autor: | mueller |
ok jetzt ja
Danke!
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