graphische Lösung (LOP) < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Di 31.10.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Minimierungsproblem graphisch:
NB: 2x-3y [mm] \geq [/mm] 1
x+y [mm] \leq [/mm] 3
x,y [mm] \geq [/mm] 0
ZF:
(i) x-y -> max
(ii) x - [mm] \frac{3}{2}y [/mm] -> min
(iii) x - [mm] \frac{3}{2}y [/mm] -> max |
Hi!
bin mir bei dieser graphischen lösung nicht sicher, weil ich nie weiß wann ich die gerade hoch oder runter schieben muss... gibt es da eine bessere möglichkeit als probieren? oder wie kann ich so was schneller sehen, hab da irgendwie gar kein auge dafür...?
habs mal so versucht:
Geraden aus den NB eingezeichnet:
[mm] y_1=\frac{2}{3}x [/mm] - [mm] \frac{1}{3}, y_2=-x+3 [/mm] und ZF y=x:
graph1
ist es richtig, dass das max dann bei (2,1) angenommen wird? also x-y=2-1=1? weil wenn ich die zielgerade nach oben verschiebe, dann werden die fktswerte ja kleiner, oder?
in dem bild soll natürlich nur das positiv-gelbe der zulässige berecih sein, hab das mit dem programm nicht anders hinbekommen, sorry...
und (ii) muss ich nach oben verschieben, oder?
dann bekomm ich das min bei (0,3), also [mm] x-\frac{3}{2}y=0-\frac{9}{2}=-4,5 [/mm] ?
graph2
(iii)
das ist ja dann genau die gleiche grade, nur soll hier maximiert werden... also muss ich sie nach unten schieben, oder?
nur liegt sie ja dann direkt auf der "kante" ?
bedeutet das, dass alle punkte mit x [mm] \in[0,5;2] [/mm] und y=2/3x-1/3 die funktion minimieren?
graph3
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mi 01.11.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo riley,
> Lösen Sie folgendes Minimierungsproblem graphisch:
> NB: 2x-3y [mm]\geq[/mm] 1
> x+y [mm]\leq[/mm] 3
> x,y [mm]\geq[/mm] 0
> ZF:
> (i) x-y -> max
> (ii) x - [mm]\frac{3}{2}y[/mm] -> min
> (iii) x - [mm]\frac{3}{2}y[/mm] -> max
> Hi!
>
> bin mir bei dieser graphischen lösung nicht sicher, weil
> ich nie weiß wann ich die gerade hoch oder runter schieben
> muss... gibt es da eine bessere möglichkeit als probieren?
> oder wie kann ich so was schneller sehen, hab da irgendwie
> gar kein auge dafür...?
Allgemein kann man die "Verschieberichtung" nicht angeben, denn z.B. zu den Zielfunktionen x-y und y-x gehört ja die gleiche Gerade, allerdings ist die nötige "Verschieberichtung" genau umgekehrt.
Mein Vorschlag: halte alle Variablen bis auf eine fest und überleg Dir für die, in welche Richtung zu schieben ist um näher an die Lösung zu kommen. Für Deine erste Aufgabe: halte z.B. y=0 fest, um den Zielfunktionswert zu verbessern musst Du in positive x-Richtung verschieben.
>
> habs mal so versucht:
> Geraden aus den NB eingezeichnet:
> [mm]y_1=\frac{2}{3}x[/mm] - [mm]\frac{1}{3}, y_2=-x+3[/mm] und ZF y=x:
> graph1
> ist es richtig, dass das max dann bei (2,1) angenommen
> wird? also x-y=2-1=1? weil wenn ich die zielgerade nach
> oben verschiebe, dann werden die fktswerte ja kleiner,
> oder?
Ja, die zwei "Extremen" Ecken sind ja (2,1) und (0,3) mit den Zielfunktionswerten 1 bzw. -3, als ist bei Maximierung (2,1) die Lösung.
> in dem bild soll natürlich nur das positiv-gelbe der
> zulässige berecih sein, hab das mit dem programm nicht
> anders hinbekommen, sorry...
>
> und (ii) muss ich nach oben verschieben, oder?
Wieder mit meiner Überlegung: y festhalten, um die ZF zu verbessern (=verkleinern) verschiebe man in Richtung kleinerer x->stimmt!
> dann bekomm ich das min bei (0,3), also
> [mm]x-\frac{3}{2}y=0-\frac{9}{2}=-4,5[/mm] ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> graph2
>
> (iii)
> das ist ja dann genau die gleiche grade, nur soll hier
> maximiert werden... also muss ich sie nach unten schieben,
> oder?
Richtig!
> nur liegt sie ja dann direkt auf der "kante" ?
> bedeutet das, dass alle punkte mit x [mm]\in[0,5;2][/mm] und
> y=2/3x-1/3 die funktion minimieren?
Alle Punkte auf der "Isogewinngeraden" haben den gleichen Zielfunktionswert (darum heißt sie ja auch so). Wenn Sie also am Ende des Verschiebens auf einer Kante des zulässigen Bereichs zu liegen kommt sind alle Punkte dieser Kante gleichwertige Optimale Lösungen.
Wobei "optimale Lösung" in dieser Teilaufgabe aber bedeutet die Zielfunktion zu maximieren, da hast Du Dich wohl verschrieben.
> graph3
>
> viele grüße
> riley
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi piet!
vielen dank für deine korrektur & erklärungen, muss ich mir merken ! =)
wusste ich gar nicht dass die gerade so heißt. gibt es dann noch eine bessere darstellung die isogewinngerade anzugeben als so wie ich das gemacht hab mit x [mm] \in [/mm] [0,5;2]und y=2/3x-1/3?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mi 01.11.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Hi piet!
> vielen dank für deine korrektur & erklärungen, muss ich
> mir merken ! =)
>
> wusste ich gar nicht dass die gerade so heißt.
Naja, das ist eher die Bezeichnungsweise aus dem OperationsResearch Bereich, in der Numerik ist der "Gewinn" eher sekundär...
> gibt es dann
> noch eine bessere darstellung die isogewinngerade anzugeben
> als so wie ich das gemacht hab mit x [mm]\in[/mm] [0,5;2]und
> y=2/3x-1/3?
Kleines Missverständnis: die Isogewinngerade ist die gesamte Gerade, die Du bei der graphischen Lösung verschiebst - egal, ob sie im zulässigen Bereich liegt oder nicht. Für die Angabe aller optimalen Lösungen ist Deine Darstellungsweise in Ordnung, recht viel einfacher geht es meines Erachtens nicht.
>
> viele grüße
> riley
>
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hi piet!
ahso okay, alles klar, vielen dank für deine hilfe!
gruß riley =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Riley |
hi!
sorry, hab doch nochmal eine frage. ich glaub ich hab den zulässigen bereich beim ersten mal falsch gekennzeichnet und deshalb stimmt die lösung wohl auch nicht mehr. könnt ihr nochmal schauen obs jetzt richtig ist? das wär cool.
NB:
y<= 2/3x - 1/3
y<= -x + 3
(i) graph1
x-y -> max
bei (3,0) d.h. 3-0=3.
(ii)graph2
x-3/2y -> min
liegt auf kante, also z.B.
bei (1,2/3) d.h. 1- 3/2*2/3=0.
(iii) graph3
x-3/2y -> max
bei (3,0) d.h. 3-0=3.
vg riley =)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Riley |
Hallo piet!
danke nochmal für deine hilfe - war mein fehler mit der zeichnung.
hm, versteh (ii) noch nicht ganz.
die kante ist ja y=2/3x - 1/3, oder? z.B. (2/1) liegt drauf, wie du geschrieben hast. wenn ich den jetzt in die zu minimierende fkt einsetze:
x-3/2 = 2-2/3=6/3-2/3 = 1.
aber wenn ich z.B. nehme x=1, dann muss y sein: y=2/3x-1/3=1/3.
und in die zu min.fkt: x-3/2y=1-3/2*1/3= 1/2 *verwirrt*
eigentlich müsste doch für alle punkte auf der gerade ein gleicher wert rauskommen, oder??
und was ist ein LP-solver?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Fr 03.11.2006 | | Autor: | piet.t |
Halo riley,
> Hallo piet!
> danke nochmal für deine hilfe - war mein fehler mit der
> zeichnung.
> hm, versteh (ii) noch nicht ganz.
> die kante ist ja y=2/3x - 1/3, oder? z.B. (2/1) liegt
> drauf, wie du geschrieben hast. wenn ich den jetzt in die
> zu minimierende fkt einsetze:
> x-3/2 = 2-2/3=6/3-2/3 = 1.
Da hast Du Dich irgendwo verhaspelt:
x-3/2y = 2 - 3/2*1 = 2-3/2 = 1/2 - passt!
> aber wenn ich z.B. nehme x=1, dann muss y sein:
> y=2/3x-1/3=1/3.
> und in die zu min.fkt: x-3/2y=1-3/2*1/3= 1/2 *verwirrt*
> eigentlich müsste doch für alle punkte auf der gerade ein
> gleicher wert rauskommen, oder??
> und was ist ein LP-solver?
Ein LP-solver ist ein Computersystem zur Lösung von linearen Optimierungsproblemen - einfach das Problem in geeigneter Form eingeben, Knöpfchen drücken, und schon ist die Lösung da.
Ich glaube das können auch die meisten Computeralgebrasysteme, aber die speziellen Programme sind oft etwas komfortabler.
Gruß
piet
>
> viele grüße
> riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Riley |
hallo piet,
okay, dann stimmt ja alles, vielen dank nochmal!
ja so computersysteme sind echt praktisch! =)
viele grüße
riley
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