grenzfunktion und konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mi 07.04.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktion auf gleichmäßige Konvergenz und bestimmen Sie die Grenzfunktion!
[mm] f_n(x)= \bruch{nx}{1+n^2 x^2}, x\in [/mm] [0,1] |
Hallo,
in der Vorlesung wurde gesagt, man solle eine Kurvendiskussion durchführen.
Ich habe dazu mal die Ableitungen gebildet und bin auf eine Extremum bei x= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gekommen. Setze ich dies nun in die 2. Ableitung ein, erhalte ich [mm] -4n^2, [/mm] was kleiner 0 ist. Folglich habe ich ein Maximum. Und [mm] f_n(\bruch{1}{n})= \bruch{1}{2}.
[/mm]
Stimmt das? Und vor allem: Was fange ich nun mit diesem Ergebnis an? Was sagt mir das über die Konvergenz und wie komm ich auf die Grenzfunktion?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand erklären kann, wie man "zu denken" hat- damit ich es später auch auf andere Funktionen übertragen kann.
Danke.
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Ok, halten wir also fest:
Für jedes n hat [mm] f_n [/mm] ein Maximum bei [mm] $x_0=\bruch{1}{n}$ [/mm] und es gilt [mm] $f_n(x_0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Nun überleg dir mal, wie die Grenzfunktion aussieht (nimm dir dazu mal ein paar x und schau, was passiert) und dann überleg dir, was du zeigen musst, damit gleichmäßige Konvergenz vorliegt (schreib die Definition von punktweiser und glm. Konvergenz dazu mal hin).
Dann überleg dir, dass die Definition für glm. Konvergenz eben nicht erfüllt sein kann, wenn man $ x = [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] wählt, da......... den Rest musst du begründen 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mi 07.04.2010 | | Autor: | gigi |
nun, bei funktionenfolgen lasse ich doch n immer größer werden, oder? bei steigenden n wird [mm] x_0 [/mm] dann immer kleiner, geht gegen 0, wobei die maxima sich eben auf der gerade y=0,5 bewegen- aber ist das die grenzfunktion??
gleichmäßige kvg liegt nur dann vor, wenn dass [mm] n_0 [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängig ist. ich verstehe jedoch nicht, woran ich nun sehe, dass [mm] n_0 [/mm] noch von x abhängt und folglich nur punktweise kvg vorliegt!
gruß
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Hiho,
> nun, bei funktionenfolgen lasse ich doch n immer größer
> werden, oder?
Korrekt.
> bei steigenden n wird [mm]x_0[/mm] dann immer kleiner,
> geht gegen 0, wobei die maxima sich eben auf der gerade
> y=0,5 bewegen- aber ist das die grenzfunktion??
Nein.... das ist nur das Maximum, das brauchen wir aber später erst.....
Zur Grenzfunktion:
Betrachte doch mal [mm] f_n(x) [/mm] für ein festes x!
Lasse doch mal n gegen unendlich laufen, was ist dann der Grenzwert, wenn x fest ist?
> gleichmäßige kvg liegt nur dann vor, wenn dass [mm]n_0[/mm] nur
> von [mm]\varepsilon[/mm] abhängig ist. ich verstehe jedoch nicht,
> woran ich nun sehe, dass [mm]n_0[/mm] noch von x abhängt und
> folglich nur punktweise kvg vorliegt!
Gut soweit.
Nehmen wir mal an, es läge glm. Konvergenz vor. Dann gäbe es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] n_0, [/mm] so dass WAS gilt?
Setze dann mal [mm] $n_1 [/mm] = [mm] 2n_0$, [/mm] damit gilt [mm] $n_1 [/mm] > [mm] n_0$ [/mm] und betrachte den Kram mal für [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n_1} [/mm] 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Do 08.04.2010 | | Autor: | gigi |
> Zur Grenzfunktion:
>
> Betrachte doch mal [mm]f_n(x)[/mm] für ein festes x!
> Lasse doch mal n gegen unendlich laufen, was ist dann der
> Grenzwert, wenn x fest ist?
>
der grenzwert= 0. aber das ist doch nicht die grenzfunktion oder?
und wozu benötige ich nun das maximum?
>
> > gleichmäßige kvg liegt nur dann vor, wenn dass [mm]n_0[/mm] nur
> > von [mm]\varepsilon[/mm] abhängig ist. ich verstehe jedoch nicht,
> > woran ich nun sehe, dass [mm]n_0[/mm] noch von x abhängt und
> > folglich nur punktweise kvg vorliegt!
>
> Gut soweit.
> Nehmen wir mal an, es läge glm. Konvergenz vor. Dann
> gäbe es zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0,[/mm] so dass WAS
> gilt?
>
> Setze dann mal [mm]n_1 = 2n_0[/mm], damit gilt [mm]n_1 > n_0[/mm] und
> betrachte den Kram mal für [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{n_1}[/mm]
sorry, aber ich verstehs nicht wirklich, ich bräuchte wohl erst einmal ein bsp, damit ich verstehen kann, was wir überhaupt wie und warum suchen und prüfen...wär nett, wenn du das mal exemplarisch "laut denken" könntest- kannst du ja meinetwegen auch mit ner anderen funktion machen!
> MFG,
> Gono.
gruß und dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Do 08.04.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> > Zur Grenzfunktion:
> >
> > Betrachte doch mal [mm]f_n(x)[/mm] für ein festes x!
> > Lasse doch mal n gegen unendlich laufen, was ist dann
> der
> > Grenzwert, wenn x fest ist?
> >
> der grenzwert= 0. aber das ist doch nicht die grenzfunktion
> oder?
Doch. Die Folge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [0,1] punktweise gegen die Grenzfunktion [mm] $f\equiv0$
[/mm]
> und wozu benötige ich nun das maximum?
Sei [mm] $M_n [/mm] := max [mm] \{|f_n(x)-f(x)| : x \in [0,1] \}$
[/mm]
Nun schau mal in Deine Unterlagen, dann stellst Du fest:
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [0,1]gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $f$ [mm] \gdw (M_n) [/mm] ist eine Nullfolge
FRED
>
> >
> > > gleichmäßige kvg liegt nur dann vor, wenn dass [mm]n_0[/mm] nur
> > > von [mm]\varepsilon[/mm] abhängig ist. ich verstehe jedoch nicht,
> > > woran ich nun sehe, dass [mm]n_0[/mm] noch von x abhängt und
> > > folglich nur punktweise kvg vorliegt!
> >
> > Gut soweit.
> > Nehmen wir mal an, es läge glm. Konvergenz vor. Dann
> > gäbe es zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0,[/mm] so dass WAS
> > gilt?
> >
> > Setze dann mal [mm]n_1 = 2n_0[/mm], damit gilt [mm]n_1 > n_0[/mm] und
> > betrachte den Kram mal für [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{n_1}[/mm]
>
>
> sorry, aber ich verstehs nicht wirklich, ich bräuchte wohl
> erst einmal ein bsp, damit ich verstehen kann, was wir
> überhaupt wie und warum suchen und prüfen...wär nett,
> wenn du das mal exemplarisch "laut denken" könntest-
> kannst du ja meinetwegen auch mit ner anderen funktion
> machen!
>
> > MFG,
> > Gono.
>
> gruß und dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Do 08.04.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Sei [mm]M_n := max \{|f_n(x)-f(x)| : x \in [0,1] \}[/mm]
>
> Nun schau mal in Deine Unterlagen, dann stellst Du fest:
>
> [mm](f_n)[/mm] konvergiert auf [0,1]gleichmäßig gegen die
> Grenzfunktion [mm]f[/mm] [mm]\gdw (M_n)[/mm] ist eine Nullfolge
ok, den Satz hat ich definitiv auch nie in einer VL.
Den brauch man letztlich ja auch nicht.
Aber damit gehts ja dann noch einfacher, als über die Definition ^^
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Do 08.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> > Sei [mm]M_n := max \{|f_n(x)-f(x)| : x \in [0,1] \}[/mm]
> >
> > Nun schau mal in Deine Unterlagen, dann stellst Du fest:
> >
> > [mm](f_n)[/mm] konvergiert auf [0,1]gleichmäßig gegen die
> > Grenzfunktion [mm]f[/mm] [mm]\gdw (M_n)[/mm] ist eine Nullfolge
>
> ok, den Satz hat ich definitiv auch nie in einer VL.
Der Beweis iat aber sehr einfach:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] und jedes n > N
Es folgt: [mm] M_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n> N.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Dei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit : [mm] M_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n> N.
Dann:
[mm] $|f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] und jedes n > N
FRED
> Den brauch man letztlich ja auch nicht.
> Aber damit gehts ja dann noch einfacher, als über die
> Definition ^^
>
> MFG,
> Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 08.04.2010 | | Autor: | gigi |
also ich bräuchte noch einmal eine zusammenfassung/überblick:
wie finde ich die grenzfunktion?
-limes über die funktionenfolge bilden
wenn ich auf gleichmäßige kvg überprüfen möchte, dann
-bestimme ich immer die extrema
-schaue dann, ob der abstand zwischen extrema und grenzfunktion für n gegen [mm] \infty [/mm] klein wird
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Do 08.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> also ich bräuchte noch einmal eine
> zusammenfassung/überblick:
>
> wie finde ich die grenzfunktion?
Sei f die Grenzfunktion. Die ist def. durch: $f(x):= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$
[/mm]
> -limes über die funktionenfolge bilden
>
> wenn ich auf gleichmäßige kvg überprüfen möchte, dann
>
> -bestimme ich immer die extrema
> -schaue dann, ob der abstand zwischen extrema und
> grenzfunktion für n gegen [mm]\infty[/mm] klein wird
>
> stimmt das so?
Naja, aber oben hab ich Dir doch geschrieben:
Sei $ [mm] M_n [/mm] := max [mm] \{|f_n(x)-f(x)| : x \in [0,1] \} [/mm] $
$ [mm] (f_n) [/mm] $ konvergiert auf [0,1]gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f $ [mm] \gdw (M_n) [/mm] $ ist eine Nullfolge
FRED
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 08.04.2010 | | Autor: | gigi |
Also ist es nun direkt falsch mein Vorgehen? wenn ja, wie lauten die einzelnen Schritte dann?
Und wie bestimme ich dann die Grenzfkt bei einer Reihe? Wie prüfe ich auf gleichmäßige Konvergenz? Ich schlage mal dieses Beispiel zum Erklären vor:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} x^n [/mm] (1-x), [mm] x\in [/mm] [0,1]
was mir dazu einfällt ist: die geometrische reihe. und weiter?
bitte entschuldige die vielen fragen, aber sie wurden eben einfach noch nicht beantwortet, ich muss ein beispiel von vorn bis hinten verstehen, um es dann auch übertragen zu können!
gruß und dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Fr 09.04.2010 | | Autor: | gfm |
> Also ist es nun direkt falsch mein Vorgehen? wenn ja, wie
> lauten die einzelnen Schritte dann?
>
> Und wie bestimme ich dann die Grenzfkt bei einer Reihe? Wie
> prüfe ich auf gleichmäßige Konvergenz? Ich schlage mal
> dieses Beispiel zum Erklären vor:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} x^n[/mm] (1-x), [mm]x\in[/mm] [0,1]
>
> was mir dazu einfällt ist: die geometrische reihe. und
> weiter?
>
> bitte entschuldige die vielen fragen, aber sie wurden eben
> einfach noch nicht beantwortet, ich muss ein beispiel von
> vorn bis hinten verstehen, um es dann auch übertragen zu
> können!
Ich finde es wurde eine ganze Menge beantwortet. Nur das, was ich vermute, was du willst - ein Patentrezept, was Dir gefällt und wenig Arbeit macht (weder in der Ausführung noch im Verständnis) - darfst Du nicht immer erwarten. Es hängt auch viel von intensiver Eigeninitiative ab.
Was ist denn so schlimm hier?
Du hast eine Funktionsfolge [mm] f_n(x) [/mm] für gewisse [mm] x\in [/mm] J:=[a,b] gegeben. Für ein festes [mm] x\in [/mm] J kann man das auch als Folge [mm] a_n:=a^{(x)}_n:=f_n(x) [/mm] auffassen, die von einem Parameter x abhängt.
Die Folgen [mm] a_n=a^{(x)}_n [/mm] können nun Grenzwerte [mm] a:=a^{(x)} [/mm] besitzen oder auch nicht. Wenn für alle [mm] x\in [/mm] J ein Grenzwert existiert, [mm] a=a^{(x)}:=\limes_{n\to\infty}a^{(x)}_n, [/mm] bildet die Gesamtheit dieser Grenzwerte die Grenzfunktion [mm] f(x):=a=a^{(x)}=\limes_{n\to\infty}a^{(x)}_n=\limes_{n\to\infty}f_n(x)
[/mm]
In der "Epsilontik" bedeutet hier Grenzwert sein, dass
[mm] |a-a_n| [/mm] beliebig klein wird, wenn man nur n hinreichend groß macht: Also zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] n(\epsilon), [/mm] so dass für alle [mm]n\ge n(\epsilon)[/mm] [mm]|a-a_n|<\epsilon[/mm] ist. Man kommt also beliebig nahe an a heran, wenn man nur weit genug mit n nach oben geht.
Nun haben wir es hier aber nicht mit einer Grenzwertbetrachtung zu tun, sondern mit einer Schar, die nämlich parametrisiert ist mit den [mm] x\in [/mm] J. Man kann sich nun fragen, ob es reicht, zu einem [mm] \epsilon [/mm] nur ein [mm] n(\epsilon) [/mm] anzugeben, so dass dann [mm] |a^{(x)}-a^{(x)}_n|<\epsilon [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] J ist. Es könnte ja sein, dass für ein [mm] x_0 [/mm] ein gegebenes [mm] n(\epsilon) [/mm] ausreicht aber bei [mm] x_1<>x_0 [/mm] für [mm] n=n(\epsilon) [/mm] eben noch nicht [mm] |a^{(x_1)}-a^{(x_1)}_n|<\epsilon [/mm] gilt. Das würde bedeuten, dass, wenn man ein [mm] \epsilon [/mm] vorgibt, man für unterschiedliche [mm] x\in [/mm] J unterschiedlich weit raus muss in der Folge, um auf unter [mm] \epsilon [/mm] heranzukommen.
Für den Fall, dass das nicht so ist, dass also ein [mm] n(\epsilon) [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] J ausreicht (es also nicht zwingend von x abhängt), sagt man, die Schar von Folgen (also unsere Funktionsfolge) sei glm. konvergent.
Stellt sich jetzt die Frage, wie finde ich die glm. Konvergenz heraus. Nun, dazu betrachtest Du wieder
[mm] |a^{(x)}-a^{(x)}_n|<\epsilon
[/mm]
Du willst ja, dass diese Ungleichung erfüllt ist, wenn zu einem beliebig (kleinen) [mm] \epsilon [/mm] n nur hinreichend groß gemacht wird und dass das dann für alle [mm] x\in [/mm] J paßt. Wann paßt es denn für alle [mm] x\in [/mm] J? Na, wenn es selbst für den größten auftretenden Wert von [mm] |a^{(x)}-a^{(x)}_n| [/mm] paßt, wenn also die obige Ungleichung auch im Maximum erfüllt ist:
[mm] Max\{x\in J:|a^{(x)}-a^{(x)}_n|\}<\epsilon
[/mm]
Stellt sich nun also die Frage, wie finde ich das Maximum von
[mm] |a^{(x)}-a^{(x)}_n| [/mm] ?
In Deinem Beispiel ist die Grenzfunktion die Nullfunktion [mm] a^{(x)}=f(x)\equiv [/mm] 0 und die [mm] a^{(x)}_n [/mm] sind nicht negativ und beliebig oft differenzierbar:
[mm] |a^{(x)}-a^{(x)}_n|=f_n(x)
[/mm]
Da kann man dann über eine Kurvendiskussion das Maximum herausfinden, welches dann 1/2 ist:
[mm] Max\{x\in J:|a^{(x)}-a^{(x)}_n|\}=1/2<\epsilon
[/mm]
Das ist schwer zu erfüllen für beliebig kleine [mm] \epsilon.
[/mm]
Nur mußt Du Dir im Klaren darüber sein, dass i.A. das Maximum nicht immer über eine Kurvendiskussion zu bestimmen ist, denn [mm] |a^{(x)}-a^{(x)}_n| [/mm] muss nicht notwendiger Weise differenzierbar sein. Und selbst wenn, muss das lokale Extremum nicht das Globale sein. An den Rändern von J könnte ja das Maximum realisiert werden.
Reicht Dir das?
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Do 08.04.2010 | | Autor: | gfm |
Gleichmäßige Konvergenz bedeutet anschaulich Folgendes:
Sei f(x) in [a,b] die Grenzfunktion einer Funktionenfolge [mm] f_n(x).
[/mm]
Nun mache aus dem Graph von f(x) zwei weitere, in dem Du [mm] f_{\pm\epsilon}(x):=f(x)\pm\epsilon [/mm] betrachtest. [mm] f_{\pm\epsilon}(x) [/mm] definieren einen "[mm]\epsilon[/mm]-Schlauch" um den Graphen von f(x). Zu einem gegebenen x definieren [mm] f_{\pm\epsilon}(x) [/mm] die y-Werte, die von f(x) nicht weiter als [mm] \epsilon [/mm] entfernt sind. Zeichne Dir das mal wirklich auf.
So und nun denke Dir die Graphen von [mm] f_n(x) [/mm] auch noch eingezeichnet. Wenn nun zu jedem [mm] \epsilon [/mm] es eine Nummer [mm] n(\epsilon) [/mm] gibt, sodaß für alle [mm] n>n(\epsilon) [/mm] die Grahphen der [mm] f_n(x) [/mm] im [mm]\epsilon[/mm]-Schlauch um f(x) herum liegen, dann sagt man, dass die Funktionenfolge glm. konvergiere.
Es kann dann nicht passieren, auch nicht punktuell, dass ein [mm] f_n(x) [/mm] mit [mm] n>n(\epsilon) [/mm] bei festgehaltenem n "zu weit" von f(x) abweicht (eben mehr als das [mm] \epsilon), [/mm] wenn man x über das Intervall laufen läßt.
In deinem Beispiel gibt es immer ein x zu einem gegebenen n, so dass [mm] f_n(x)=1/2. [/mm] Wenn die Nullfunktion aber die Grenzfunktion ist, kann dann aber der Abstand der [mm] f_n(x) [/mm] zu Ihr durch hinreichend großes n nicht beliebige klein über das GANZE Intervall gemacht werden.
Diese gleichmäßige Annähern an die Grenzfunktion führt dann dazu, dass sich Eigenschaften der Folgenglieder auf den Grenzwert übertragen.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 So 11.04.2010 | | Autor: | PINI |
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