grenzwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 So 12.09.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
gegeben sei eine Matrix $A$ deren Eigenwerte betragmäßig kleiner gleich 1 sind. Dann gilt folgende Aussage:
$$ [mm] (I_d [/mm] +A + [mm] \cdots [/mm] + [mm] A^j) [/mm] ~ [mm] \overset{j \to \infty}{\to} [/mm] ~ [mm] (I_d [/mm] - [mm] A)^{-1} [/mm] $$
hat jemand ne begründung?
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 So 12.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> gegeben sei eine Matrix [mm]A[/mm] deren Eigenwerte betragmäßig
> kleiner gleich 1 sind. Dann gilt folgende Aussage:
>
> [mm](I_d +A + \cdots + A^j) ~ \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} ~ (I_d - A)^{-1}[/mm]
>
> hat jemand ne begründung?
Überlege zunächst, was die Eigenwerte von [mm] $A^j$ [/mm] sind wie sie sich für [mm] $j\to \infty$ [/mm] verhalten. Was bedeutet das für [mm] $A^j$ [/mm] ?
Dann multipliziere beide Seiten mit [mm] $(I_d [/mm] - A)$ . Was steht da?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Mo 13.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei ||*|| irgend eine Norm auf dem reellen (oder komplexen) Vektorraum V aller nxn - Matrizen.
Aus der Vor. über die Eigenwerte folgt, dass der Grenzwert
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}||A^n||^{1/n}$ [/mm] existiert und < 1 ist.
Damit konvergiert die sogenannte Neumannsche Reihe [mm] \summe_{j=0}^{\infty}A^j [/mm] im normierten Raum V. Sei
$B:= [mm] \summe_{j=0}^{\infty}A^j [/mm] $
Zeige;
$B(I-A)= (I-A)B=I$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Mo 13.09.2010 | | Autor: | vivo |
super, danke euch!
|
|
|
|
