grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | ist keine aufgabe gewesen aber muss das wissen.
also: gesucht grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{x} [/mm] * ln(x) |
hallo,
ich habe versucht diese aufgabe zu lösen und gerade kam mir glaube ich selbst der richtige gedanke, aber ich weiß nicht obs richtig ist.
ich versuchte es erst mit der regel von bernoulli-l´hospital.
das endete aber in immer wilderen ableitungen und brachte mir nix.
ein freund sagte mir es sei nämlich ein unbestimmter ausdruck.
ob es das ist weiß ich nicht, jedoch hab ich in einer aufgabe gesehen dass bei der berechnung von grenzwerten eines produktes ich die faktoren einzeln untersuchen kann.
d.h.: dann folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{x} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln(x)
ln(x) ist streng monoton wachsend und läuft gegen [mm] \infty, [/mm] und [mm] \wurzel(x) [/mm] ist auch streng monoton wachsend und läuft gegen [mm] \infty.
[/mm]
da beide grenzwerte existieren, existiert auch der grenzwert des produkts.
dieser wäre dann ja bei [mm] \infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
dass man das so ausdrücken darf bezweifel ich da soweit ich weiß man nicht [mm] \infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] rechnen darf da [mm] \infty [/mm] keine zahl ist.
aber ansonsten müsste die vorgehensweise doch eig. richtig und zulässig sein oder?
danke für jede hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Mi 31.08.2011 | | Autor: | chrisno |
> also: gesucht grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{x}[/mm]
> * ln(x)
Zuerst kanst Du Dich entscheiden. x oder n?
Du musst das Problem mit dem [mm] $\infty$ [/mm] umgehen. Sage anstelle: wird größer als jede vorgegebene Zahl.
Dann ist der Beweis schön einfach:
Sei y > 1 die vorgegebene Zahl. Dann gibt es ein x, so dass [mm] $\ln{x} [/mm] > y$. Dann ist [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] > 1. Also ist das Produkt [mm] $\wurzel{x}[/mm] \cdot [/mm] ln(x)$ größer als y. Wegen der Monotonie wird das Produkt für größere x noch größer.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Mi 31.08.2011 | | Autor: | freak-club |
ok, danke. auch hier nochmal sorry für das chaos mit n und x. ist mir erst durch den hinweis in meinem anderen thread aufgefallen.
danke nochmals für die hilfe.
|
|
|
|
