grenzwert mit epsilon < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 04.11.2008 | | Autor: | cheer |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] (-1)^{n}\bruch{n}{n^{2}+1} [/mm] zu vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 jeweils ein [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] an, so dass für n [mm] \ge n_{0}(\varepsilon) [/mm] gilt: [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
nabend die herren ;)
ich habe gerade ein großes problem mit dieser Aufgabe und keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll.
zunächst ist denk ich erstmal offensichtlich das diese Folge konvergent gegen 0 ist und alterniert auch noch dazu...
Gesucht ist ja: [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] aus [mm] \IN [/mm] mit [mm] |a_{n}-0|<\varepsilon ,\forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}(\varepsilon)
[/mm]
nunja Problem ist erstmal, wie soll ich vorgehen?
habe mir irgendwie gedacht das ich [mm] a_{n} [/mm] erstma nach oben abschätze...
aber irgendwie bin ich mir total unsicher ^^ die Aufgabe verwirrt mich total
LG cheer ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Di 04.11.2008 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> ich habe gerade ein großes problem mit dieser Aufgabe und
> keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> zunächst ist denk ich erstmal offensichtlich das diese
> Folge konvergent gegen 0 ist und alterniert auch noch
> dazu...
Genau! Das ist immer der erste Schritt - den Grenzwert bestimmen/erraten. Bei dieser Folge ist es ziemlich einfach ->0.
> Gesucht ist ja: [mm]n_{0}(\varepsilon)[/mm] aus [mm]\IN[/mm] mit
> [mm]|a_{n}-0|<\varepsilon ,\forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}(\varepsilon)[/mm]
Genau da soll man anfangen [mm] |a_{n}-0|=|a_{n}|=\left|\bruch{1}{n^2}+(-1)^{n}\bruch{n}{n^2+1}\right|.
[/mm]
Das will man nach oben abschätzen. Das bedeutet, man will etwas angeben, was für allen n größer als der Ausdruck für alle n ist. Naja, man kann sich einiges überlegen. Z.b. ist n immer größer als jeder Folgenglied. Da hat man aber zu großzügig abgeschätzt, man will feiner an die Sache rangehen. Naja, die nächste Überlegung wäre z.B. das nervige [mm] (-1)^n [/mm] wegzuhauen. Und das geht ja so ziemlich einfach: [mm] \left|\bruch{1}{n^2}+(-1)^{n}\bruch{n}{n^2+1}\right|\le\left|\bruch{1}{n^2}+\bruch{n}{n^2+1}\right|. [/mm]
Man kann ja höchsten etwas Positives subtrahieren, also wenn man es einfach immer addiert, ist das auf der rechten Seite immer größer gleich als das links. Naja, somit ist es eigentlich fast getan.
Andere Standardtricks sind:
i) den Zähler eines positiven/negativen Summanden vergrößern/verkleinern;
ii) den Nenner eines positiven/negativen Summanden verkleinern/vergrößern
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 04.11.2008 | | Autor: | cheer |
hm danke schonmal für die Antwort ;)
aber eine Frage habe ich da dann noch. Und zwar ist es mit dem nach oben "abschätzen" durch das (-1) weg lassen schon getan oder muss es definitiv größer sein ?
denn wenn es genau größer sein muss wäre es so doch ungefähr richtig ^^ ?
[mm] |\bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{n}{n^{2}}| [/mm]
also durch das weg lassen der 1 in dem nenner
LG cheer ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hm danke schonmal für die Antwort ;)
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> aber eine Frage habe ich da dann noch. Und zwar ist es mit
> dem nach oben "abschätzen" durch das (-1) weg lassen schon
> getan oder muss es definitiv größer sein ?
>
> denn wenn es genau größer sein muss wäre es so doch
> ungefähr richtig ^^ ?
>
> [mm]|\bruch{1}{n^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{n}{n^{2}}|[/mm]
> also durch das weg lassen der 1 in dem nenner
ja, passt schon. Ich schreib's mal insgesamt auf:
Es gilt für jedes [mm] $n\,:$
[/mm]
[mm] $$|a_{n}-0|=|a_{n}|=\left|\bruch{1}{n^2}+(-1)^{n}\bruch{n}{n^2+1}\right|$$
[/mm]
[mm] $$\overset{\text{Dreiecksungleichung}}{\le} \left|\frac{1}{n^2}\right|+\left|\frac{(-1)^n n}{n^2+1}\right|=\frac{1}{n^2}+\frac{n}{n^2+1} \overset{\frac{n}{n^2+1} \le \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}}{\le} \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n} \,.$$
[/mm]
Ich würde noch ergänzen, dass man insgesamt erhält $... [mm] \le \frac{2}{n}\,.$ [/mm] (Eine Idee, wie ich darauf komme?)
Und das hilft Dir nun, den Beweis auch wirklich vernünftig aufzuschreiben:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest vorgegeben, so wähle nun [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] so, dass...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 04.11.2008 | | Autor: | cheer |
auf die [mm] \bruch{2}{n} [/mm] ?
ich denke durch großzüges abschätzen ^^ also durch weg lassen der hoch 2 bei n
[mm] \bruch{1}{n^{2}}+\bruch{1}{n} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n} [/mm] ?
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Hallo cheer,
> auf die [mm]\bruch{2}{n}[/mm] ?
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> ich denke durch großzüges abschätzen ^^ also durch weg
> lassen der hoch 2 bei n
Ja, im Prinzip
>
> [mm]\bruch{1}{n^{2}}+\bruch{1}{n}[/mm] --> [mm]\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{n}[/mm] ?
Du meinst es richtig, aber es ist furchtbar aufgeschrieben. 
Es ist doch offensichtlich [mm] $n^2\ge [/mm] n$ für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Damit mit Übergang zum Kehrbruch: [mm] $\red{\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n}}$
[/mm]
Also [mm] $\red{\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{n}\red{\le\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}=\frac{2}{n}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Di 04.11.2008 | | Autor: | cheer |
theoretisch könnte man dann doch auch soweit abschätzen das nur noch [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] stehen bleibt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Di 04.11.2008 | | Autor: | cheer |
sorry kann garnet gehen -.-
ich hab gerade hier meine unordnung vercheckt ;P
aber dennoch danke erstmal ^^
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Hallo!
> theoretisch könnte man dann doch auch soweit abschätzen das
> nur noch [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] stehen bleibt
Nein, denn [mm] $\bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n^{2}}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] wegen [mm] $\bruch{1}{n} [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] 
Deswegen wäre deine Abschätzung genau in die falsche Richtung, denn du willst ja solche:
[mm] $\bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} \red{\le}$ [/mm]
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Di 04.11.2008 | | Autor: | cheer |
jojo hatte ich schon gesehen ^^
ich hatte mich nur vorhin auf dem "schmierzettel" bissel unübersichtlich ausgelassen....
dennoch danke^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 23.11.2008 | | Autor: | tasse |
hi, ich verstehe überhaupt nicht, was das für eine art und weise ist, einen beweis zu führen.
man setzt eine bedingung "wähle... so dass..", mit der ich auf das ergebnis komme, jedoch setze ich das ergebnis danach erst in meine bedingung ein?!
was soll das? ich kann mcih damit gerade überhaupt nicht anfreunden und verstehe nur bahnhof!
man muss also das ergebnis vorher schon kennen, um etwas wählen zu können, damit man auf das ergebnis kommt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 So 23.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi, ich verstehe überhaupt nicht, was das für eine art und
> weise ist, einen beweis zu führen.
> man setzt eine bedingung "wähle... so dass..", mit der ich
> auf das ergebnis komme, jedoch setze ich das ergebnis
> danach erst in meine bedingung ein?!
> was soll das? ich kann mcih damit gerade überhaupt nicht
> anfreunden und verstehe nur bahnhof!
> man muss also das ergebnis vorher schon kennen, um etwas
> wählen zu können, damit man auf das ergebnis kommt??
nein, aber man sollte gewisse Grundkenntnisse haben. Man muss zum einen eine (geeignete) Abschätzung aufstellen können (mithilfe gewisser Anordnungsaxiome), zum anderen braucht man so etwas wie das ![[]](/images/popup.gif) Archimedische Axiom.
Wenn man ganz genau sein will, kann man hier alles mit solchen Argumenten detailliert ausführen, aber knapp gesagt: Man kann oben die Konvergenz der Folge zeigen, indem man mit den Anordnungsaxiomen (im (kurz gesagt) angeordneten Körper [mm] $\IR$) [/mm] geeignet abschätzt und benutzt, dass [mm] $(1/n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Jetzt kannst Du fragen: Was ist denn [mm] $\IR$ [/mm] überhaupt? Warum ist das ein Körper? Wieso ist es ein geordneter Körper? ...
Was soll ich groß drum herum reden, es gibt viele Möglichkeiten, [mm] $\IR$ [/mm] auf theoretischem Wege "passend" zu konstruieren. Einen Weg findest Du z.B. in diesem Skript.
Damit wir von gleichen Dingen sprechen, müßtest Du nun eigentlich die ersten 4 bzw. 5 Kapitel dort (zumindest teilweise) durcharbeiten.
Und das ist nur eine Mögliche Definition/Konstruktion von [mm] $\IR$. [/mm] Man kann es auch anders angehen und [mm] $\IR$ [/mm] über gewisse Cauchyfolgen konstruieren etc.
Und auch das ist nicht der einzig mögliche Weg.
Zudem schau' z.B. mal in das Buch von Heuser rein (Analysis 1). Er geht einfach davon aus, dass es sowas wie [mm] $\IR$ [/mm] gibt, und, kurz gesagt, dass man dort so rechnen darf, wie man es gewohnt ist.
Aber auf irgendeine Grundlage muss man sich halt beziehen. Ich beziehe mich auf die des obigen Skriptes und alles, was ich oben geschrieben habe, läßt sich mit Sätzen aus den ersten vier Kapiteln dort begründen. Du solltest in der Lage sein, sie zu finden, jedenfalls nachdem Du die ersten vier Kapitel durchgearbeitet und verstanden hast.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 Mo 24.11.2008 | | Autor: | tasse |
danke für den buchtip, werde es mir zu gemüte führen! habe die ersten seiten angelesen, klingt recht gut!
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