grenzwert, nulldivision ? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Di 26.02.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Bitstimmen Sie ... mit hilfe von Bernouilli und de L'Hospital
[mm] \limes_{n\rightarrow 1}x^{\bruch{1}{x-1}} [/mm] |
ok als erstes sollte man den unbestimmten ausdruck erkennen.
aber wie sollte man das vestehen da komm ja am schluß bei x=1
[mm] 1^{\bruch{1}{1-1}} [/mm] = [mm] 1^{\bruch{1}{0}} [/mm]
was ich nicht verstehe ist der Exponent [mm] \bruch{1}{0} [/mm] der eine nulldivision aufweist.
Der Prof meint das bei :
[mm] $\limes_{n\rightarrow 1}x^{\bruch{1}{x-1}}$ "$1^{\infty}$" [/mm] rauskommen soll?
aber wie zum *** ^^ soll das gehen?
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Hallo masa-ru,
Es läuft hier [mm] x\to [/mm] 1, nicht n 
> Bitstimmen Sie ... mit hilfe von Bernouilli und de
> L'Hospital
>
> [mm]\limes_{\red{x}\rightarrow 1}x^{\bruch{1}{x-1}}[/mm]
> ok als erstes
> sollte man den unbestimmten ausdruck erkennen.
>
> aber wie sollte man das vestehen da komm ja am schluß bei
> x=1
>
> [mm]1^{\bruch{1}{1-1}}[/mm] = [mm]1^{\bruch{1}{0}}[/mm]
>
>
> was ich nicht verstehe ist der Exponent [mm]\bruch{1}{0}[/mm] der
> eine nulldivision aufweist.
>
> Der Prof meint das bei :
> [mm]\limes_{n\rightarrow 1}x^{\bruch{1}{x-1}}[/mm] "[mm]1^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
"
> rauskommen soll? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Nie im Leben, der GW ist $e$
>
> aber wie zum *** ^^ soll das gehen?
Schreibe das Biest $x^{\frac{1}{x-1}}$ mit der Definition der allg. Potenz um:
$a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)$
Also hier: $x^{\frac{1}{x-1}}=e^{\frac{1}{x-1}\cdot{}\ln(x)}$
Nun grefe dir den Exponenten $\frac{1}{x-1}\cdot{}\ln(x)$ heraus
Den kannst du schreiben als $\frac{\ln(x)}{x-1}$
Dieses Ding strebt nun für $x\to 1$ gegen den unbestimmten Ausdruck $\frac{\ln(1)}{1-1}=\frac{0}{0}$
Also können wir die Regel von de l'Hôpital anwenden, leite Zähler und Nenner getrennt ab:
$\frac{[\ln(x)]'}{[x-1]'}=\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}$
Das strebt nun für $x\to 1$ gegen den schönen bestimmten Ausdruck \red{1}
Also strebt $x^{\frac{1}{x-1}}=\blue{e}^{\frac{1}{x-1}\cdot{}\ln(x)}$ gegen $\blue{e}^{\red{1}}=e$
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
diesen komischen Ausdruck [mm] $1^{\infty}$ [/mm] kenne ich nicht
Die Regel von de l'Hôpital kannst du dann anwenden, wenn du eine Funktion [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] hast, die bei direktem Grenzübergang einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] liefert.
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Mi 27.02.2008 | | Autor: | masa-ru |
Ok es ist schon spät ...
aber :
" Ein unbestimmter Ausdruck kann in verschiedenen Formen wie z.B.
[mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] , [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$, $0*\infty$, $\infty [/mm] - [mm] \infty$, [/mm] $ [mm] 1^{\infty}$, $0^{0}$, [/mm] $ [mm] \infty^{0}$ [/mm] auftretten"
Zitat aus Papula band1.
mfg
masa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Mi 27.02.2008 | | Autor: | masa-ru |
boa es ist wirklich spät :-(
du hast recht L'Hospital hilft in meisten fällen jedoch nur bei [mm] "\bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty}"
[/mm]
mfg
masa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:52 Mi 27.02.2008 | | Autor: | masa-ru |
grob gesagt :
der Prof hat eins gedacht aber was anderes geschieben... weil wenn er als ergebnis e raus hat,
und den dollen L'Hospital angewand hat, muss er also irgendwo den ausdruck in der form gehabt haben...
das typisch profs... denkte eine sache schreiben andere ...
und su sollst da klar kommen ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
mfg
masa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Glaube ihm, wenn er beweist ;)
Aber ich hätte mal eine kleine Frage zur Schreibweise:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{\bruch{lnx}{x-1}} \gdw e^{\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{lnx}{x-1}}
[/mm]
Ist das bei der rechten Seite eine zulässige Schreibweise?
Ich würde sagen ja, da der Grenzwert ja eine eindeutige Zahl ist, und man auch im rechten Fall [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{lnx}{x-1} [/mm] durch 1 ersetzen kann.
Allerdings sieht man das ja so nie, also scheint es zumindest unüblich zu sein.
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Hallo Teufel,
> Hallo!
>
> Glaube ihm, wenn er beweist ;)
Wohl wahr
>
> Aber ich hätte mal eine kleine Frage zur Schreibweise:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{\bruch{lnx}{x-1}} \red{=}e^{\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{lnx}{x-1}}[/mm]
Obacht, auf beiden Seiten stehen reelle Zahlen !!
>
> Ist das bei der rechten Seite eine zulässige Schreibweise?
> Ich würde sagen ja, da der Grenzwert ja eine eindeutige
> Zahl ist, und man auch im rechten Fall
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{lnx}{x-1}[/mm] durch 1
> ersetzen kann.
> Allerdings sieht man das ja so nie, also scheint es
> zumindest unüblich zu sein.
Bei stetigen Funktionen darfst du tauschen:
Ist f stetig und [mm] (x_n)_n [/mm] eine Konvergente Folge, dann ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(\lim\limits_{n\to\infty}x_n)$
[/mm]
bzw. f stetig und [mm] \lim\limits_{x\to x_0}g(x) [/mm] existiert, dann ist [mm] $\lim\limits_{x\to\ x_0}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\to x_0}g(x))$
[/mm]
Das ist etwas unsolide aufgeschrieben, nur so für den Hausgebrauch
Die genauen Sätze schlag in nem Ana Buch nach
Da die e-Fkt stetig ist und [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x-1}$ [/mm] existiert, kann man das also so schreiben wie du es oben getan hast - mit nem "=" dazwischen
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah, ok! Vielen Dank.
Werde wohl auch bei der "normalen" Schreibweise bleiben, aber das hat mich nur mal interessiert.
Gute Nacht dann! Wird für mich auch langsam Zeit...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:11 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Dir auch vielen Dank ;)
So, jetzt bin ich aber wirklich!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
hab da schell zusammen geklickt ^^.
