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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:29 Do 04.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei $lim [mm] a_{n} [/mm] = a $. Zeige: $lim [mm] \sqrt{a_{n}} [/mm] = [mm] \sqrt{a}$ [/mm] |
Hallo,
$lim [mm] a_{n} [/mm] = a [mm] \gdw \forall \epsilon [/mm] >0 \ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : | [mm] a_{n}- [/mm] a | < [mm] \epsilon [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N $
es muiss gelten
$0 [mm] \le |a_{n}^{1/2} [/mm] - [mm] a^{1/2}| \le \frac{|a_{n} - a |}{|a_{n}^{1/2}+a^{1/2}|} \rightarrow [/mm] 0 $ für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm]
damit muss [mm] $a_{n}^{1/2}$ [/mm] gegen [mm] $a^{1/2}$ [/mm] konvergieren
Stimmt das so?
Danke für jegliche Hilfestellung.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Do 04.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]lim a_{n} = a [/mm]. Zeige: [mm]lim \sqrt{a_{n}} = \sqrt{a}[/mm]
Ich nehme an, es soll gelten: [mm] a_n \ge [/mm] 0 für alle n.
>
>
>
> Hallo,
>
> [mm]lim a_{n} = a \gdw \forall \epsilon >0 \ \exists N \in \IN : | a_{n}- a | < \epsilon \ \forall n \ge N[/mm]
>
> es muiss gelten
> [mm]0 \le |a_{n}^{1/2} - a^{1/2}| \le \frac{|a_{n} - a |}{|a_{n}^{1/2}+a^{1/2}|} \rightarrow 0[/mm]
> für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
>
> damit muss [mm]a_{n}^{1/2}[/mm] gegen [mm]a^{1/2}[/mm] konvergieren
>
> Stimmt das so?
Na ja, wenn a>0 ist , sind fast alle [mm] a_n>0 [/mm] und Deine obige Argumentation ist O.K.
Was machst Du aber im Falle a=0 und [mm] a_n=0 [/mm] für unendlich viele n ?
FRED
>
>
> Danke für jegliche Hilfestellung.
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Do 04.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> was machst du für a gegen 0 für n unendlich
OK das problem ist wohl der nenner daher muss ich das abschätzen ?
$0 [mm] \le |a_{n}^{1/2}-a^{1/2}| \le \frac{|a_{n}-a|}{|a_{n}^{1/2}|} \rightarrow [/mm] 0 $ für $n [mm] \rightarrow \infty$?? [/mm]
Oder:
$0 [mm] \le |a_{n}^{1/2} [/mm] - [mm] a^{1/2}| \le \frac{|a_{n}-a|}{|a_{n}^{1/2}-1|} \rightarrow [/mm] 0 $ für $ [mm] n\rightarrow \infty$?
[/mm]
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Do 04.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > was machst du für a gegen 0 für n unendlich
>
> OK das problem ist wohl der nenner daher muss ich das
> abschätzen ?
>
> [mm]0 \le |a_{n}^{1/2}-a^{1/2}| \le \frac{|a_{n}-a|}{|a_{n}^{1/2}|} \rightarrow 0[/mm]
> für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]??
Du hast immer noch ein Problem: der Fall: [mm] a_n=0 [/mm] für unendlich viele n.
>
>
> Oder:
>
>
> [mm]0 \le |a_{n}^{1/2} - a^{1/2}| \le \frac{|a_{n}-a|}{|a_{n}^{1/2}-1|} \rightarrow 0[/mm]
> für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]?
Das ist ja totaler Quatsch !
FRED
>
>
> > FRED
>
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Do 04.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
reicht es nicht auch schon wenn man schreibt:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists N\in \IN [/mm] : [mm] |\sqrt{a_{n}} [/mm] - [mm] \sqrt{a} [/mm] | < [mm] \sqrt{\epsilon} [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$
und das [mm] $\epsilon$ [/mm] nimmt man aus [mm] $|a_{n} [/mm] - a |< [mm] \epsilon$ [/mm] ?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Do 04.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> reicht es nicht auch schon wenn man schreibt:
>
>
> [mm]\forall \epsilon >0 \exists N\in \IN : |\sqrt{a_{n}} - \sqrt{a} | < \sqrt{\epsilon} \ \forall n \ge N[/mm]
>
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> und das [mm]\epsilon[/mm] nimmt man aus [mm]|a_{n} - a |< \epsilon[/mm] ?
Im Falle a=0 ist die Idee ausbaufähig:
Sei [mm] \epsilon>0. [/mm] Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: 0 [mm] \le a_n< \epsilon^2 [/mm] für n>N.
Dann ist
0 [mm] \le \sqrt{a_{n}}< \epsilon [/mm] für n>N
Im Falle a>0 kannst Du argumentieren, wie Du es ganz oben gemacht hast.
FRED
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> > FRED
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Do 04.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Erklärung
Danke!!!!
> FRED
KUSH
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