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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Fr 27.01.2012 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | hallo, so lautet meine aufgabe und mein problem  : $ I $ ist eine teilmenge von $ [mm] \IR [/mm] $. $ f: [mm] I\to\mathbb [/mm] R^+ $ ist differenzierbar, $ a,b [mm] \in [/mm] I $ mit $ a<b $ und $ [mm] r\in \mathbb [/mm] R^+ $. Dann gilt:
$ [mm] f'\geq [/mm] rf\ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] e^{-rb} f(b)\geq e^{-ra} [/mm] f(a) $ |
Dass $ f(a)<f(b) $ ist und $ [mm] e^{-ra}>e^{-rb} [/mm] $ war schnell gezeigt. Nur... daraus ergibt sich nicht, dass $ [mm] e^{-rb} f(b)\geq e^{-ra} [/mm] f(a) $
Wie komm ich da weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo anabiene,
> hallo, so lautet meine aufgabe und mein problem : [mm]I[/mm] ist
> eine teilmenge von [mm]\IR [/mm]. [mm]f: I\to\mathbb R^+[/mm] ist
> differenzierbar, [mm]a,b \in I[/mm] mit [mm]a
> Dann gilt:
>
> [mm]f'\geq rf\ \Rightarrow \ e^{-rb} f(b)\geq e^{-ra} f(a)[/mm]
>
> Dass [mm]f(a)e^{-rb}[/mm] war schnell gezeigt.
> Nur... daraus ergibt sich nicht, dass [mm]e^{-rb} f(b)\geq e^{-ra} f(a)[/mm]
>
> Wie komm ich da weiter?
aus [mm]f'\ge rf[/mm] folgt [mm]\frac{f'}{f}\ge r[/mm] (denn [mm]f>0[/mm]). Diese Ungleichung kannst du nun von a bis b integrieren, also [mm]\int_a^b \frac{f'(x)}{f(x)}\ dx\ge \int_a^b r\ dx[/mm] berechnen. Begründe, warum man das machen darf und forme das Ergebnis in die gewünschte Form um.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Fr 27.01.2012 | | Autor: | anabiene |
darf ich das, weil integrieren eine äquivalenzumformung ist? Ansonsten... f ist differenzierbar und damit stetig.
$ [mm] \int_a^b [/mm] r\ dx $ versteh ich nicht so ganz, wegen dem dx müsste man doch nach x integrieren, da steht aber doch r?
Ohjee ich glaub du musst mir nochmal helfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Fr 27.01.2012 | | Autor: | anabiene |
vielen dank... wenn sowas wie deine antwort als lese, denk ich immer wow, wie klug oder wie logisch. Zur monotonie vom integral, damit ist das gemeint (ich hab das aus wiki ein bissel verallgemeinert):
[mm] f(x)\geq0\ \forall x\in D_f\ \Rightarrow\ \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,\mathrm dx\geq0\ \forall x_1,x_2\in D_f [/mm] mit [mm] x_1
das stimmt so gell?
dann gilt ja ganz nebenbei auch bestimmt das:
f(x) [mm] \color{red} \leq \color{black}0\ \forall x\in D_f\ \Rightarrow\ \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,\mathrm [/mm] dx [mm] \color{red} \leq \color{black}0\ \forall x_1,x_2\in D_f [/mm] mit [mm] x_1
Trotzdem ist mir noch nit ganz klar warum das gilt:
$ [mm] \frac{f'(x)}{f(x)}\ge [/mm] r $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \int_a^b \frac{f'(x)}{f(x)}\ dx\ge \int_a^b [/mm] r\ dx $
Die Monotonie sagt mir doch nur, dass wegen $ [mm] \frac{f'(x)}{f(x)}\geq [/mm] 0 $ auch $ [mm] \int_a^b \frac{f'(x)}{f(x)}\geq0 [/mm] $ sein muss... aber wieso kann $ [mm] \int_a^b [/mm] r $ nicht größer als der term links von der halbungleichung sein? ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
danke für deine hilfe bisher...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo zurück,
> vielen dank... wenn sowas wie deine antwort als lese, denk
> ich immer wow, wie klug oder wie logisch. Zur monotonie vom
> integral, damit ist das gemeint (ich hab das aus wiki ein
> bissel verallgemeinert):
>
> [mm]f(x)\geq0\ \forall x\in D_f\ \Rightarrow\ \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,\mathrm dx\geq0\ \forall x_1,x_2\in D_f[/mm]
> mit [mm]x_1
>
> das stimmt so gell?
Ja, aber ich würde noch fordern, dass [mm]D_f[/mm] oder zumindest [mm][x_1; x_2][/mm] ein Intervall ist.
> dann gilt ja ganz nebenbei auch bestimmt das:
>
> f(x) [mm]\color{red} \leq \color{black}0\ \forall x\in D_f\ \Rightarrow\ \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,\mathrm[/mm]
> dx [mm]\color{red} \leq \color{black}0\ \forall x_1,x_2\in D_f[/mm]
> mit [mm]x_1
Jap.
> Trotzdem ist mir noch nit ganz klar warum das gilt:
>
> [mm]\frac{f'(x)}{f(x)}\ge r[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\int_a^b \frac{f'(x)}{f(x)}\ dx\ge \int_a^b r\ dx[/mm]
>
> Die Monotonie sagt mir doch nur, dass wegen
> [mm]\frac{f'(x)}{f(x)}\geq 0[/mm] auch [mm]\int_a^b \frac{f'(x)}{f(x)}\geq0[/mm]
> sein muss... aber wieso kann [mm]\int_a^b r[/mm] nicht größer als
> der term links von der halbungleichung sein?
>
> danke für deine hilfe bisher...
Betrachte mal die Abbildung [mm]h(x):=f'(x)-r*f(x)[/mm]: Da [mm]f'\ge rf[/mm] ist, gilt sicherlich [mm]h(x)\ge 0[/mm].
Jetzt lass das Integral darauf los und beachte, die Linearität des Integrals (siehe Wiki-Link).
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Sa 28.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] g(x):=e^{-rx}f(x).
[/mm]
Dann ist g'(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] I.
g ist somit auf I mon. wachsend.
FRED
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