h-Schreibweise < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Do 20.09.2007 | | Autor: | Atomaffe |
| Aufgabe | | Bestimme die Ableitungsfunktion der Funktion [mm] f(x)=x^2+x [/mm] mit Hilfe der h-Schreibweise. |
Guten Tag, unser Lehrer hat uns die oben genannte Aufgabe gegeben, und ich komme nicht so recht weiter. Also soweit bin ich schon:
[mm] f(a)=\limes_{h\rightarrow\Null} \bruch{(a+h)^2 + (a+h) - a^2 - a}{h} [/mm]
nun habe ich das Problem wie ich zu dem Ergebnis f(a)=2a+h komme, bzw f(a)=2a weil ja h wegfällt da es null ist.
Wäre nett wenn mir jemand den Rechenweg aufzeigen könnte.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Do 20.09.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Alexander:
$ [mm] f'(a)=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{(a+h)^2 + (a+h) - a^2 - a}{h} [/mm] $
Das ist soweit okay.
Für die weitere Rechnung lasse ich ertmal den Limes weg.
Ziel der Rechnung ist, das h aus dem Nenner wegzukürzen, denn dann kann ich ohne Probleme h=0 setzen.
Also:
[mm] \bruch{(a+h)^2+(a+h)-a^2-a}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{a²+2ah+h²+a+h-a²-a}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{2ah+h²+h}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{h(2a+h+1)}{h}
[/mm]
=2a+h+1
Jetzt kann ich ohne Probleme h=0 setzen, und komme auf 2a+1, was ja das gewünschte Ergebnis ist.
Probe: f(x)=x²+x
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)=2x+1
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Do 20.09.2007 | | Autor: | Atomaffe |
ähm ich kann ihre Rechenschritte einigermaßen nachverfolgen, doch scheint mir ja die 1 zu viel zu sein. es muss doch heißen als Ergebnis:
=2a+h
das stimmt auf jeden Fall, bloß da ist dann eine 1 zu viel, und meine Klassenkameraden haben alle =2a+h raus, jedenfalls die, die ich gefragt habe und das Ergebnis ist auch richtig.
Was machen sie den anders??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 21.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> das stimmt auf jeden Fall, bloß da ist dann eine 1 zu
> viel, und meine Klassenkameraden haben alle =2a+h raus,
> jedenfalls die, die ich gefragt habe und das Ergebnis ist
> auch richtig.
Na lass dich doch von den anderen nicht verunsichern! Die Ableitung von der Funktion [mm] f(x)=x^{2}+x [/mm] ist f'(x)=2x+1, das ist sicher. Man kann das anhand von den ![[]](/images/popup.gif) Potenz- und Summenregeln überprüfen. Jetzt noch mal eine ausführliche Rechnung:
[mm] f'(a)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(a+h)^{2}+a+h-a^{2}-a}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^{2}+2ah+h^{2}+a+h-a^{2}-a}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2ah+h^{2}+h}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\left(\bruch{2ah}{h}+\bruch{h^{2}}{h}+\bruch{h}{h}\right)=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}(2a+h+1)=2a+1.
[/mm]
An welcher Stelle kann dich diese Rechnung nicht überzeugen?
> Was machen sie den anders??
Keine Ahnung. Das Ergebnis ist auf jeden Fall f'(a)=2a+1. Sehr wahrscheinlich glauben deine Schulkameraden, dass [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{h}=0, [/mm] was einfach nicht stimmt.
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mo 01.10.2007 | | Autor: | Atomaffe |
stimmt. herzlichen dank
|
|
|
|
