herleitung von e < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 So 23.08.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute habe mal eine kleine frage zu der herleitung der zahl e.
angenommen man nimmt den weg über die steigung der e-fkt an der stelle (0,1). die tangente an dem punkt muss gerade die steigung 1 haben.
demnach gilt für kleine x: [mm] e^x\approx1+x [/mm] also für große n gilt dann ziemlich genau [mm] e^\bruch1n\approx1+\bruch1n. [/mm]
soweit so gut, nur jetzt potenziert man ja beide seiten noch mit n und bekommt dann [mm] e\approx(1+\bruch1n)^n [/mm] für große n.
was ich nicht verstehe ist folgendes: wenn ich [mm] e^x [/mm] durch 1+x approximiere, dann gilt das ja nur für sehr kleine x was bei [mm] e^\bruch1n\approx1+\bruch1n [/mm] für große n gegeben ist (da ich die funktion ja genau bei dem punkt 0 an dem sie lin.approxmiert wird betrachte)
potenziere ich aber nun beide seiten von [mm] e^\bruch1n\approx1+\bruch1n [/mm] mit n betrachte ich ja sozusagen den punkt bei x=1 [mm] (e^1=e) [/mm] der ja sehr weit weg von der 0 ist. ist die approximation dann überhaupt noch genau genug?
wenn ja, warum?
gruß und schönen sonntag :)
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> hey leute habe mal eine kleine frage zu der herleitung der
> zahl e.
> angenommen man nimmt den weg über die steigung der e-fkt
> an der stelle (0,1). die tangente an dem punkt muss gerade
> die steigung 1 haben.
>
Hallo, ich hake hier mal ein: Wenn du die Zahl e herleiten sollst, darfst du sie doch nicht schon benutzen, indem du die Steigung der e-Funktion nimmst?
Die Frage ist so also unklar gestellt. Präzisiere bitte mal: Was ist bekannt und darf benutzt werden, was soll gezeigt/ hergeleitet werden?
Gruß, MatheOldie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 So 23.08.2009 | | Autor: | AriR |
die zahl e ist unbekannt und soll hergeleitet werden. ich glaube ich bin auch selber schon etwas weitergekommen:
gesucht ist eine zahl e für die gilt
[mm] e^\bruch1n\approx1+\bruch1n [/mm] und dieser ausdruck ist äquvivalent zu [mm] e\approx(1+\bruch1n)^n
[/mm]
also die zahl e die [mm] e^\bruch1n\approx1+\bruch1n [/mm] erfüllt, ist exakt die selbe zahl die [mm] e\approx(1+\bruch1n)^n [/mm] erfüllt (da [mm] f(x)=x^n [/mm] bijektiv ist)
so ist das doch gemeint oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 So 23.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
man kann e herleiten aus f'(x)=f(x) und f"(0)=1
indem man schrittweise zu f(1)=e per Definition loslaeuft.
f(1/n)=f(0)+f'(0)*1/n=1+1/n
[mm] f(2/n)=f(1/n)+f'(1/n)*1/n)=1+1/n+(1+1/n)*1/n=(1+1/n)^2
[/mm]
usw. f(3/n)...f(n/n)
und du hast [mm] f(n/n)=f(1)=(1+1/n)^n
[/mm]
und mit lin ngegen [mm] \infty [/mm] dann e
dabei wierd [mm] f'(a^x)=k*a^x [/mm] vorrausgesetzt, was leicht zu zeigen ist, und nur a so bestimmt, dass k=1 ist.
ich denke ,dass das auch der historische Weg Eulers war auf e zu kommen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 So 23.08.2009 | | Autor: | AriR |
jo besten danke leute :)
ist anschaulich und verständlich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mo 24.08.2009 | | Autor: | AriR |
eine frage bitte noch
würde ich zB [mm] a=(1+\bruch{k}n)^n [/mm] berechne für [mm] n\to\infty
[/mm]
bestimme ich a so, dass [mm] f'(x)=k*a^x [/mm] wobei [mm] f(x)=a^x
[/mm]
oder?
gruß
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> eine frage bitte noch
>
>
> würde ich zB [mm]a=(1+\bruch{k}n)^n[/mm] berechne für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> bestimme ich a so, dass [mm]f'(x)=k*a^x[/mm] wobei [mm]f(x)=a^x[/mm]
>
> oder?
>
> gruß
Nachdem geklärt ist, dass [mm] \limes_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e [/mm]
(für [mm] x\in\IN [/mm] , aber sogar auch für [mm] x\in\IQ
[/mm]
oder sogar [mm] x\in\IR), [/mm] kannst du dieses Ergebnis
für die neue Limesberechnung verwenden.
Setze dazu einfach die Terme
[mm] \left(1+\frac{k}n\right) [/mm] und [mm] \left(1+\frac1x\right) [/mm]
einander gleich, mit anderen Worten [mm] x:=\frac{n}k [/mm] .
Nach dieser Substitution berechnest du den
entstehenden Grenzwert für [mm] x\to\infty [/mm] .
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mo 24.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum machst du nicht einfach dasselbe, was ich dir fuer f'(x)=f(x) f'(0)=k vorgeschlagen hab, dann faendest du selbst die Antwort. es ist nie gut zu fragen, bevor man selber was probiert hat. Du willst doch lernen, nicht ich.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Mo 24.08.2009 | | Autor: | AriR |
habe ich doch gemacht und bin zu dem ergebniss gekommen und wollte jetzt eigentlich nur sicher gehen ob das so richtig ist :)
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> hey leute habe mal eine kleine frage zu der herleitung der
> zahl e.
> angenommen man nimmt den weg über die steigung der e-fkt
> an der stelle (0,1). die tangente an dem punkt muss gerade
> die steigung 1 haben.
>
> demnach gilt für kleine x: [mm]e^x\approx1+x[/mm] also für große
> n gilt dann ziemlich genau [mm]e^\bruch1n\approx1+\bruch1n.[/mm]
> soweit so gut, nur jetzt potenziert man ja beide seiten
> noch mit n und bekommt dann [mm]e\approx(1+\bruch1n)^n[/mm] für
> große n.
>
> was ich nicht verstehe ist folgendes: wenn ich [mm]e^x[/mm] durch
> 1+x approximiere, dann gilt das ja nur für sehr kleine x
> was bei [mm]e^\bruch1n\approx1+\bruch1n[/mm] für große n gegeben
> ist (da ich die funktion ja genau bei dem punkt 0 an dem
> sie lin.approxmiert wird betrachte)
So weit korrekt.
> potenziere ich aber nun beide seiten von
> [mm]e^\bruch1n\approx1+\bruch1n[/mm] mit n betrachte ich ja
> sozusagen den punkt bei x=1 [mm](e^1=e)[/mm] der ja sehr weit weg
> von der 0 ist.
Das stimmt so nicht. Es wird hier ja nur aus der
(im Limes für [mm] n\to\infty [/mm] exakten) approximativen Gleichung
durch die Umformung "beidseitig mit n potenzieren"
eine neue gemacht, welche auch nur für sehr
grosse Werte von n annähernd zutrifft. Für n=1
(und also x=1) stimmt sie offenbar bei weitem
nicht, denn [mm] e^{\bruch11}=e=2.718... [/mm] und [mm] 1+\bruch11=2.0 [/mm] .
LG Al-Chw.
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