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Hallo zusammen
Gerade bin ich an der Repetition des Numerikstoffes für die Prüfung. Da ich in der VL gefehlt habe, als die hermite Interpolation durchgenommen wurde, habe ich versucht selber herauszufinden, wie das geht. Im Internet habe ich verschiedenes gefunden, aber überall versteh ich etwas nicht. z.B.
Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Hermite-Interpolation
Als Beispiel dient hier die Aufgabe,
[mm] f(-1) = -1,\, f'(-1) = 0,\, f(2) = 0 \textrm{ in} \mathcal{P}_2 \textrm{ zu interpolieren.}
Man definiert
p(x) := a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 \textrm{ und leitet ab zu }
p'(x) := a_1 + a_2 \cdot 2x.
Das Gleichungssystem wird damit zu
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2 \\
1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0 \\
a_1 \\
a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}. [/mm]
Wie kommen die auf die Matrix? Das ist nicht die Vandermond-Matrix und auch sonst kann ich aus der Aufgabenstellung nicht ablesen, wie sie zB. zu [mm]a_{23}=-2[/mm] kommen oder auch zu der 4 als letzter Eintrag, wenn das nicht die Vandermond sein soll.
Oder in einem Skript von der Tech.Uni. Kaiserslautern:
http://www.google.ch/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CC8QFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.mathematik.uni-kl.de%2F~damm%2FPRAMA%2Finterpolation.pdf&rct=j&q=hermite%20interpolation%20beispiel&ei=uMgqToa4G4XNswanz8CSDA&usg=AFQjCNH2uWklNYpRKG244S-hY05p_VJ-ow
Wir berechnen das Interpolationspolynom zu den Werten
x 0 = 0, f(x 0 ) = − 1, f ′ (x 0 ) = − 2
x 1 = 1, f(x 1 ) = 0, f ′ (x 1 ) = 10, f ′′ (x 1 ) = 40
mit Hilfe der Newtonschen dividierten Differenzen. Wir haben
x 0 = t 0 = t 1 < x 1 = t 2 = t 3 = t 4
und
[t 0 ]f = − 1
[t 1 ]f = − 1 [t 0 , t 1 ]f = − 2
[t 2 ]f = 0 [t 1 , t 2 ]f = 1 [t 0 , t 1 , t 2 ]f = 3
[t 3 ]f = 0 [t 2 , t 3 ]f = 10 [t 1 , t 2 , t 3 ]f = 9 [t 0 , t 1 , t 2 , t 3 ]f = 6,
[t 4 ]f = 0 [t 3 , t 4 ]f = 10 [t 2 , t 3 , t 4 ]f = 20 [t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ]f = 11 [t 0 , . . . , t 4 ]f = 5
also
(a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) = ( − 1, − 2, 3, 6, 5) .
Das Interpolationspolynom ist daher
p(t) = − 1 − 2(t − 0) + 3(t − 0)(t − 0) + 6(t − 0)(t − 0)(t − 1) + 5(t − 0)(t − 0)(t − 1)(t − 1)
= 1 − 2t + 3t 2 + 6t 2 (t − 1) + 5t 2 (t − 1) 2 .
Hier kann ich eigentlich fast alles nachvollziehen nur nicht warum da (in rot) eine 20 und nicht eine 40 steht? Offensichtlich hab ich etwas noch nicht ganz begriffen, aber ich krieg nicht raus was.
Danke für eure Hilfe.
Cassy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
zur 1. Aufgabe:
Du hast da keine Vandermonde-Matrix, weil du als Interpolationsbedingung auch eine Ableitung dabei hast. Vandermonde-Matrizen kriegst du nur raus, wenn du n+1 Punkte gegeben hast, durch die du ein Polynom legen willst, ohne Ableitungen zu berücksichtigen.
Und um auf die Matrix zu kommen, schreibe einfach alle Bedingungen mal auf, wie sie dir gegeben sind. manchmal hat man so etwas i der Schule auch Steckbriefaufgabe genannt.
Auf die 2. Zeile der Matrix kommt man, indem man p'(-1)=0 verwenden mit [mm] p'(x)=2a_2x+a_1. [/mm] Das liefert [mm] -2a_2+1*a_1+0*a_0=0 [/mm] und das ist genau deine 2. Zeile.
Zur anderen Aufgabe:
Ok, wenn du nur die 20 nicht nachvollziehen kannst, dann kann ich dir ganz schnell helfen. Das liegt daran, dass du in dem Fall nicht einfach f''(1) sondern [mm] \frac{f''(1)}{2!} [/mm] herausbekommst. Dementsprechend würdest du, wenn du auch noch 3. Ableitungen dabei hättest, [mm] \frac{f'''(1)}{3!} [/mm] hinschreiben müssen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Cassipaya |
Danke!!!
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