hermitesche, orthogonale Matri < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:33 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(i) Ist A hermitesche quadratische Matrix, so ist |Av|=|v|
(ii) Ist A quadratische, orthogonale Matrix mit Av=0, so folgt v=0
Und zeigen Sie:
Sei [mm] A\in \mathcal{O}(n). [/mm] Ist 1 kein Eigenwert von A, so ist detA=-1. |
Hallo,
bei (i) habe ich bisher verzweifelt versucht ein Gegenbeispiel zu finden. So langsam fange ich an die Aussage zu glauben, es ist mir jedoch noch nicht gelungen sie zu beweisen.
Für (ii) habe ich folgendes gemacht, was mir doch sehr komisch erscheint:
Wenn A orthogonal ist, dann ist A invertierbar,
gilt Also [mm] Av=0\Rightarrow A^{t}Av=E_{n}v=v=0.
[/mm]
Zum letzten:
Ich weiß, dass alle Eigenwerte den Betrag 1 haben, weiter bin ich noch nicht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:39 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
> (i) Ist A hermitesche quadratische Matrix, so ist
> |Av|=|v|
> (ii) Ist A quadratische, orthogonale Matrix mit Av=0, so
> folgt v=0
>
> Und zeigen Sie:
> Sei [mm]A\in \mathcal{O}(n).[/mm] Ist 1 kein Eigenwert von A, so
> ist detA=-1.
> Hallo,
>
> bei (i) habe ich bisher verzweifelt versucht ein
> Gegenbeispiel zu finden. So langsam fange ich an die
> Aussage zu glauben, es ist mir jedoch noch nicht gelungen
> sie zu beweisen.
Sie stimmt aber nicht.
Es gibt da eine sehr einfache Matrix (nicht die Einheitsmatrix!), welche auch hermitesch ist.
> Für (ii) habe ich folgendes gemacht, was mir doch sehr
> komisch erscheint:
> Wenn A orthogonal ist, dann ist A invertierbar,
> gilt Also [mm]Av=0\Rightarrow A^{t}Av=E_{n}v=v=0.[/mm]
Genau.
> Zum letzten:
> Ich weiß, dass alle Eigenwerte den Betrag 1 haben, weiter
> bin ich noch nicht.
Die Aussage stimmt auch nicht. Fuer $n = 2$ betrachte etwa [mm] $\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:42 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Und zeigen Sie:
> > Sei [mm]A\in \mathcal{O}(n).[/mm] Ist 1 kein Eigenwert von A, so
> > ist detA=-1.
>
> Die Aussage stimmt auch nicht. Fuer [mm]n = 2[/mm] betrachte etwa
> [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm].
Zusatz: die Aussage stimmt genau dann, wenn $n = 1$ ist. Und da gibt es nur genau zwei orthogonale Matrizen: [mm] $\mat{1}$ [/mm] und [mm] $\pmat{-1}$, [/mm] welche mit Determinante und Eigenwert uebereinstimmen.
Fuer alle anderen Dimensionen kann man sich mit den Diagonalbloecken [mm] $\pmat{-1}$, $\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }$ [/mm] und [mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$ [/mm] jeweils orthogonale Matrizen basteln, die 1 nicht als Eigenwert hat, deren Determinante jedoch 1 ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo!
>
> > Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
> > (i) Ist A hermitesche quadratische Matrix, so ist
> > |Av|=|v|
> > (ii) Ist A quadratische, orthogonale Matrix mit Av=0,
> so
> > folgt v=0
> >
> > Und zeigen Sie:
> > Sei [mm]A\in \mathcal{O}(n).[/mm] Ist 1 kein Eigenwert von A, so
> > ist detA=-1.
> > Hallo,
> >
> > bei (i) habe ich bisher verzweifelt versucht ein
> > Gegenbeispiel zu finden. So langsam fange ich an die
> > Aussage zu glauben, es ist mir jedoch noch nicht gelungen
> > sie zu beweisen.
>
> Sie stimmt aber nicht.
[mm] A=\begin{pmatrix}0 & i\\
-i & 0\end{pmatrix}. [/mm] Dann folgt das nicht. Mich haben nur die Beträge da irritiert.
>
> Es gibt da eine sehr einfache Matrix (nicht die
> Einheitsmatrix!), welche auch hermitesch ist.
>
> > Für (ii) habe ich folgendes gemacht, was mir doch sehr
> > komisch erscheint:
> > Wenn A orthogonal ist, dann ist A invertierbar,
> > gilt Also [mm]Av=0\Rightarrow A^{t}Av=E_{n}v=v=0.[/mm]
>
> Genau.
>
> > Zum letzten:
> > Ich weiß, dass alle Eigenwerte den Betrag 1 haben,
> weiter
> > bin ich noch nicht.
>
> Die Aussage stimmt auch nicht. Fuer [mm]n = 2[/mm] betrachte etwa
> [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm].
Hmm, das ist komisch, weil in der Aufgabe ausdrücklich steht: Zeigen Sie, dass die Aussage gilt. Dann muss die Aufgabe falsch gestellt sein.
>
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > bei (i) habe ich bisher verzweifelt versucht ein
> > > Gegenbeispiel zu finden. So langsam fange ich an die
> > > Aussage zu glauben, es ist mir jedoch noch nicht gelungen
> > > sie zu beweisen.
> >
> > Sie stimmt aber nicht.
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}0 & i\\
-i & 0\end{pmatrix}.[/mm] Dann folgt
> das nicht. Mich haben nur die Beträge da irritiert.
Oder einfach die Nullmatrix 
> > Die Aussage stimmt auch nicht. Fuer [mm]n = 2[/mm] betrachte etwa
> > [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm].
>
> Hmm, das ist komisch, weil in der Aufgabe ausdrücklich
> steht: Zeigen Sie, dass die Aussage gilt. Dann muss die
> Aufgabe falsch gestellt sein.
Ja, vermutlich. Sowas kommt vor.
LG Felix
|
|
|
|
