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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:26 Mo 23.05.2005 | | Autor: | mariposa |
Hallo,
ich muss durch Einsetzen in die Integralformel zeigen, dass die hermiteschen Polynome die erzeugende Funktion
F(t,x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{t^{n}}{n!}H_{n}(x)=e^{-t²+2tx}
[/mm]
besitzen.
Als Hinweis ist gegeben, dass man die Formel
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{-k}^{k}e^{-(t+is)²}dt=\wurzel{\pi}
[/mm]
benutzen kann.
Mir fehlt jeglicher Ansatz, ich weiß nicht, was hermitesche Polynome sind, ich weiß nicht, was die Integralformel ist und wofür die variablen t und s in der zweiten Formel stehen ist mir auch schleierhaft.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte
Vielen Dank
Maike
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Hallo!
Man kann die Hermite Polynome auf viele unterschiedliche (äquivalente) Arten definieren.
Üblicherweise bezeichnet man sie mit [mm] $\big(H_n\big)_{n\in\IN_0}$. [/mm] Hierbei hat das $n$-te Polynom genau Grad $n$. Sie erfüllen diese Rekursionsrelation:
[mm] $H_{n+1}(x)-2xH_n(x)+2nH_{n-1}(x)=0,\ H_0\equiv [/mm] 1,\ [mm] H_1(x)=2x.$
[/mm]
Außerdem erfüllen sie diese (sogenannte) Rodrigues-Formel:
[mm] $H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\bruch{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$
[/mm]
Ihre wohl wichtigste Eigenschaft ist, dass [mm] $\int_\IR H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=0$ [/mm] ist, falls [mm] $m\ne [/mm] n$.
Sieht irgendetwas davon für dich bekannt aus?
Jedenfalls kann man aus diesen Eigenschaften ableiten, dass [mm] $e^{-t^2+2tx}$ [/mm] die erzeugende Funktion ist.
Ich würde dir dabei gerne helfen, allerdings ist der Beweis natürlich stark abhängig davon, was ihr bis jetzt über die Hermite Polynome wisst. Irgendwo müssen die Dinger ja mal eingeführt worden sein! Vielleicht kannst du da nochmal nachschlagen und das posten, dann kommen wir bestimmt weiter!
Gruß, banachella
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