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Wie wandle ich die Hessesche Normalform in Punktrichtungsform um, wenn ich folgendes gegeben habe?
[mm] b={z\n \IR^2 \ =p}
[/mm]
[mm] n=\bruch{1}{5}\vektor{4 \\ -3}
[/mm]
p= [mm] \bruch{8}{5}
[/mm]
[mm] a={z\in \IR^2 \ z=\vektor{11 \\ 0}+\lambda \vektor{0 \\ 3}}
[/mm]
wie wandle ich nun die Punktrichtungsform von b?
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Di 04.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie wandle ich die Hessesche Normalform in
> Punktrichtungsform um, wenn ich folgendes gegeben habe?
>
> [mm]b={z \n \IR^2 \ =p}[/mm]
Soll wohl so lauten:
[mm]b=\{z \in \IR^2 | =p\}[/mm]
>
> [mm]n=\bruch{1}{5}\vektor{4 \\ -3}[/mm]
> p= [mm]\bruch{8}{5}[/mm]
>
> [mm]a={z\in \IR^2 \ z=\vektor{11 \\ 0}+\lambda \vektor{0 \\ 3}}[/mm]
>
> wie wandle ich nun die Punktrichtungsform von b?
Mit [mm] z=\vektor{z_1 \\ z_2} [/mm] berechne das Skalarprodukt <z,n>
Damit schau Dir mal die Gleichung <z,n>=p an.
FRED
>
>
> MfG
> mathegirl
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[mm] =z_1*\bruch{4}{5}-z_2*\bruch{3}{5}=\bruch{8}{5} [/mm]
die muss nun in [mm] z=x+\lambda*y [/mm] umgewandelt werden.
aber wie gehts jetzt weiter?
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Moin!
> [mm]=z_1*\bruch{4}{5}-z_2*\bruch{3}{5}=\bruch{8}{5}[/mm]
>
> die muss nun in [mm]z=x+\lambda*y[/mm] umgewandelt werden.
>
> aber wie gehts jetzt weiter?
Die Gleichung wird übersichtlicher, wenn Du sie mit 5 multiplizierst.
Such Dir mal ein beliebiges Paar [mm] (z_1,z_2), [/mm] das die obige Gleichung erfüllt. Das ist Dein Aufpunkt.
Dann brauchst Du ein zweites Paar, das die Gleichung <z,n>=0 erfüllt. Das ist dann Dein Richtungsvektor, den Du noch normieren kannst oder auch nicht. 
Grüße
reverend
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ein Aufpunkt wäre dann also [mm] \vektor{5 \\ 4} [/mm] und der Richtungsvektor wäre [mm] \vektor{3\\ 4}. [/mm]
also wäre dann die zweipunkteform:
[mm] g=\vektor{5 \\ 4}+\lambda*\vektor{3\\ 4} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Di 04.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> ein Aufpunkt wäre dann also [mm]\vektor{5 \\ 4}[/mm] und der
> Richtungsvektor wäre [mm]\vektor{3\\ 4}.[/mm]
>
> also wäre dann die zweipunkteform:
>
> [mm]g=\vektor{5 \\ 4}+\lambda*\vektor{3\\ 4}[/mm] ?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Di 04.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
nur eine kleine Anmerkung:
> > also wäre dann die zweipunkteform:
Es gibt natürlich unendlich viele mögliche Darstellungen dieser Geraden in der gleichen Form.
Übrigens habe ich den Begriff "Zweipunkteform" noch nie gehört, aber wenn Ihr den so benutzt...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Di 04.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> nur eine kleine Anmerkung:
>
> > > also wäre dann die zweipunkteform:
>
> Es gibt natürlich unendlich viele mögliche Darstellungen
> dieser Geraden in der gleichen Form.
>
> Übrigens habe ich den Begriff "Zweipunkteform" noch nie
> gehört, aber wenn Ihr den so benutzt...
>
> Grüße
> reverend
>
Hallo Reverend,
möglicherweise haben wir unser Mathegirl in eine falsche Richtung geführt. Was sie oben aufgestellt hat heißt Parameterform (oder Punktrichtungsform) .
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Di 04.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> > > > also wäre dann die zweipunkteform:
> >
> > Es gibt natürlich unendlich viele mögliche Darstellungen
> > dieser Geraden in der gleichen Form.
> >
> > Übrigens habe ich den Begriff "Zweipunkteform" noch nie
> > gehört, aber wenn Ihr den so benutzt...
>
> möglicherweise haben wir unser Mathegirl in eine falsche
> Richtung geführt. Was sie oben aufgestellt hat heißt
> Parameterform (oder Punktrichtungsform) .
Ja, so kenne ich das auch.
Aber dass die "Zweipunkteform" tatsächlich nur zwei Punkte angibt (und damit natürlich auch die Gerade definiert), kann ich mir nicht so recht vorstellen. Diese Form hätte zwar alle Informationen, wäre aber nicht praktikabel, um einen weiteren Punkt der Gerade zu bestimmen - es sei denn, man wandelt sie z.B. in die Parameterform um, was natürlich leicht ist.
Grüße
reverend
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Hallo,
wenn eine Gerade durch zwei Punkte [mm] P_i(x_i|y_i) [/mm] gegeben ist, dann heißt
[mm] \frac{y - y_1}{x - x_1}= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} [/mm]
bzw.
y = [mm] y_1 [/mm] + [mm] \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x [/mm] - [mm] x_1)
[/mm]
die Zweipunkteform der Geradengleichung.
Aber ich denke, man kann getrost davon ausgehen, daß die Punkt-Richtungsform gefragt war, so wie es im Eingangspost steht.
Und falls das Mathegirl auch noch die Zweipunkteform möchte, ist dies mit diesem Rohling ja nun ein leichtes Spiel.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Di 04.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Angela,
> wenn eine Gerade durch zwei Punkte [mm]P_i(x_i|y_i)[/mm] gegeben
> ist, dann heißt
>
> [mm]\frac{y - y_1}{x - x_1}= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}[/mm]
>
> bzw.
>
> y = [mm]y_1[/mm] + [mm]\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x[/mm] - [mm]x_1)[/mm]
>
> die Zweipunkteform der Geradengleichung.
Aha. Nie gehört. Ist das eine Schulbucherfindung oder gibt es einen praktischen Nutzwert? Die zweite Form ist ja im Prinzip eine normale Geradengleichung in Koordinatenform. Na schön, das [mm] -x_1 [/mm] sollte noch aus der Klammer multipliziert werden, und dann hat man ein wunderbares absolutes Glied...
> Aber ich denke, man kann getrost davon ausgehen, daß die
> Punkt-Richtungsform gefragt war, so wie es im Eingangspost
> steht.
> Und falls das Mathegirl auch noch die Zweipunkteform
> möchte, ist dies mit diesem Rohling ja nun ein leichtes
> Spiel.
Jo.
Grüße
reverend
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> Hallo Angela,
>
> > wenn eine Gerade durch zwei Punkte [mm]P_i(x_i|y_i)[/mm] gegeben
> > ist, dann heißt
> >
> > [mm]\frac{y - y_1}{x - x_1}= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}[/mm]
> >
> > bzw.
> >
> > y = [mm]y_1[/mm] + [mm]\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x[/mm] - [mm]x_1)[/mm]
> >
> > die Zweipunkteform der Geradengleichung.
>
> Aha. Nie gehört. Ist das eine Schulbucherfindung oder gibt
> es einen praktischen Nutzwert?
Hallo,
ob es eine reine Schulbucherfindung ist, weiß ich nicht.
Praktischer Nutzwert?
Ohne jegliches Nachdenken aus zwei Punkten die Geradengleichung zu ermitteln. Manche mögen sowas und lernen ja auch die Tangentengleichung
y = f ′ [mm] (x_0 [/mm] ) · (x − [mm] x_0 [/mm] ) + f [mm] (x_0 [/mm] )
auswendig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Di 04.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Angela,
> ob es eine reine Schulbucherfindung ist, weiß ich nicht.
>
> Praktischer Nutzwert?
> Ohne jegliches Nachdenken aus zwei Punkten die
> Geradengleichung zu ermitteln. Manche mögen sowas und
> lernen ja auch die Tangentengleichung
> y = f ′ [mm](x_0[/mm] ) · (x − [mm]x_0[/mm] ) + f [mm](x_0[/mm] )
> auswendig.
Man kann auch noch einige Umformungen von y=mx+b auswendig lernen, also [mm] x=\bruch{y-b}{m} [/mm] und [mm] m=\bruch{y-b}{x} [/mm] und b=y-mx.
Wer wirklich gern auswendig lernt, kennt wahrscheinlich auch die "Dreipunkteform" der Ebene im Raum, oder vielleicht gar die "Vierpunkteform" der Hyperebene im [mm] \IR^4. [/mm]
Grüße
rev
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Di 04.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Alternativ:
$ [mm] =z_1\cdot{}\bruch{4}{5}-z_2\cdot{}\bruch{3}{5}=\bruch{8}{5} [/mm] $ [mm] \gdw
[/mm]
[mm] z_1= \bruch{3}{4}z_2+2
[/mm]
[mm] z_2=z_2
[/mm]
Setze [mm] \lambda:=z_2 [/mm] und mach aus den beiden Gleichungen eine Vektorgleichung.
FRED
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