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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
hier soll es nur um die Kontrolle eines Beweises gehen. Zunächst die Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier mein Beweis:
Stelle f(z) passend dar:
f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)
[mm] \frac{d|f|^2}{dx}=\frac{d u^2}{dx}+\frac{d v^2}{dx}
[/mm]
= 2 [mm] \frac{du}{dx}+2\frac{dv}{dx} [/mm] (Produktregel)
= 0 (weil |f| const)
=>
[mm] 2\frac{du}{dx}=-2\frac{dv}{dx} [/mm] [I]
[mm] \frac{d|f|^2}{dy}=\frac{d u^2}{dy}+\frac{d v^2}{dx}
[/mm]
=2 [mm] \frac{du}{dy}+2 \frac{dv}{dy}
[/mm]
=0 (weil |f| const)
=>
[mm] 2\frac{du}{dy}=-2\frac{dv}{dy} [/mm] [II]
Wegen Cauchy-Riemann-Diffgl. gilt:
[mm] 2\frac{du}{dx}=2\frac{dv}{dy}
[/mm]
und
[mm] 2\frac{du}{dy}=-2\frac{dv}{dx}
[/mm]
Es folgt mit [I] und [II] und den Cauchy-Riemann-Diffgl.:
[mm] \frac{du}{dx}=\frac{dv}{dx}=-\frac{dv}{dx}=\frac{du}{dy}
[/mm]
Aber weil
[mm] 2\frac{du}{dx}+2\frac{dv}{dx} [/mm] = 0
und beide Summanden gleich sind, müssen beide Summanden 0 sein:
=>
[mm] \frac{du}{dx} [/mm] = 0
[mm] \frac{dv}{dx} [/mm] = 0
Genauso weil
2 [mm] \frac{du}{dy}+2 \frac{dv}{dy} [/mm] = 0
und beide Summanden gleich sind, müssen beide Summanden 0 sein:
=>
[mm] \frac{du}{dy} [/mm] = 0
[mm] \frac{dv}{dy} [/mm] = 0
Für f'(z) gilt:
[mm] f'(z)=\frac{du}{dx} +i\frac{dv}{dx}
[/mm]
=0+0
[mm] =\frac{dv}{dy}-i\frac{du}{dy}
[/mm]
=0+0
=0
Was zu zeigen war.
Ist das ok?
Gruß,
Rutzel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Do 02.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> hier soll es nur um die Kontrolle eines Beweises gehen.
> Zunächst die Aufgabe:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Hier mein Beweis:
>
> Stelle f(z) passend dar:
> f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)
>
> [mm]\frac{d|f|^2}{dx}=\frac{d u^2}{dx}+\frac{d v^2}{dx}[/mm]
> = 2
> [mm]\frac{du}{dx}+2\frac{dv}{dx}[/mm] (Produktregel)
Diese Ableitung ist falsch !!!!!
Richtig wäre [mm] 2uu_x [/mm] + [mm] 2vv_x
[/mm]
Weiter unten , bei der Diff. nach y machst Du den gleichen Fehler
FRED
> = 0 (weil |f| const)
>
> =>
> [mm]2\frac{du}{dx}=-2\frac{dv}{dx}[/mm] [I]
>
> [mm]\frac{d|f|^2}{dy}=\frac{d u^2}{dy}+\frac{d v^2}{dx}[/mm]
> =2
> [mm]\frac{du}{dy}+2 \frac{dv}{dy}[/mm]
> =0 (weil |f| const)
>
> =>
> [mm]2\frac{du}{dy}=-2\frac{dv}{dy}[/mm] [II]
>
> Wegen Cauchy-Riemann-Diffgl. gilt:
>
> [mm]2\frac{du}{dx}=2\frac{dv}{dy}[/mm]
> und
> [mm]2\frac{du}{dy}=-2\frac{dv}{dx}[/mm]
>
> Es folgt mit [I] und [II] und den Cauchy-Riemann-Diffgl.:
>
> [mm]\frac{du}{dx}=\frac{dv}{dx}=-\frac{dv}{dx}=\frac{du}{dy}[/mm]
>
> Aber weil
> [mm]2\frac{du}{dx}+2\frac{dv}{dx}[/mm] = 0
> und beide Summanden gleich sind, müssen beide Summanden 0
> sein:
>
> =>
> [mm]\frac{du}{dx}[/mm] = 0
> [mm]\frac{dv}{dx}[/mm] = 0
>
> Genauso weil
> 2 [mm]\frac{du}{dy}+2 \frac{dv}{dy}[/mm] = 0
> und beide Summanden gleich sind, müssen beide Summanden 0
> sein:
>
> =>
> [mm]\frac{du}{dy}[/mm] = 0
> [mm]\frac{dv}{dy}[/mm] = 0
>
> Für f'(z) gilt:
>
> [mm]f'(z)=\frac{du}{dx} +i\frac{dv}{dx}[/mm]
> =0+0
> [mm]=\frac{dv}{dy}-i\frac{du}{dy}[/mm]
> =0+0
> =0
>
> Was zu zeigen war.
>
>
> Ist das ok?
>
> Gruß,
> Rutzel
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