holomorph & harmonisch < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 21.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:D\to\IC [/mm] holomorph, [mm] D\subset\IC [/mm] offen, [mm] D\neq\emptyset [/mm] und sei f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) für [mm] x+iy\in [/mm] D. Zeigen Sie, dass u und v auf [mm] \tilde{D}=\{(x,y)\in\IR^2|x+iy\in D\} [/mm] harmonisch sind. |
Könnte mal jemand drüberschauen, ob das so ordentlich begründet ist? (Ich schreibs nur für u auf, v läuft ja genauso)
Also, u ist harmonisch, wenn gilt
[mm] u_{xx}+u_{yy}=0
[/mm]
(1) Da f(z) holomorph ist, ist f(x,y) total differenzierbar und es gelten die Cauchy-Riemannschen DGL: [mm] u_x=v_y [/mm] und [mm] u_y=-v_x
[/mm]
(2) Da f(x,y) total differenzierbar sind (siehe (1)) sind auch u(x,y) und v(x,y) total differenzierbar, und damit sind die partiellen Ableitungen vertauschbar, d.h. speziell [mm] v_{xy}=v_{yx}
[/mm]
Nun gilt
[mm] u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy} [/mm] (wegen (1))
[mm] =v_{yx}-v_{yx} [/mm] (wegen (2))
=0
q.e.d.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 So 21.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]f:D\to\IC[/mm] holomorph, [mm]D\subset\IC[/mm] offen, [mm]D\neq\emptyset[/mm]
> und sei f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) für [mm]x+iy\in[/mm] D. Zeigen Sie,
> dass u und v auf [mm]\tilde{D}=\{(x,y)\in\IR^2|x+iy\in D\}[/mm]
> harmonisch sind.
> Könnte mal jemand drüberschauen, ob das so ordentlich
> begründet ist? (Ich schreibs nur für u auf, v läuft ja
> genauso)
>
> Also, u ist harmonisch, wenn gilt
> [mm]u_{xx}+u_{yy}=0[/mm]
>
> (1) Da f(z) holomorph ist, ist f(x,y) total differenzierbar
> und es gelten die Cauchy-Riemannschen DGL: [mm]u_x=v_y[/mm] und
> [mm]u_y=-v_x[/mm]
Richtig.
> (2) Da f(x,y) total differenzierbar sind (siehe (1)) sind
> auch u(x,y) und v(x,y) total differenzierbar, und damit
> sind die partiellen Ableitungen vertauschbar, d.h. speziell
> [mm]v_{xy}=v_{yx}[/mm]
Falsch, die partiellen Ableitungen sind vertauschbar, weil u und v zweimal stetig differenzierbar sind (warum?). Das ist der Satz von Schwarz.
> Nun gilt
> [mm]u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}[/mm] (wegen (1))
> [mm]=v_{yx}-v_{yx}[/mm] (wegen (2))
> =0
> q.e.d.
Richtig.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 21.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Danke schonmal. Ja, das macht so Sinn.
Nur das "Warum sind u und v zweimal stetig differenzierbar?" kann ich nicht so richtig beantworten.
Ich meine, f ist holomorph und damit unendlich oft (stetig) differenzierbar. Gilt das damit automatisch auch für u und v? Würde sagen ja, bin mir aber nicht sicher...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal. Ja, das macht so Sinn.
> Nur das "Warum sind u und v zweimal stetig
> differenzierbar?" kann ich nicht so richtig beantworten.
> Ich meine, f ist holomorph und damit unendlich oft (stetig)
> differenzierbar. Gilt das damit automatisch auch für u und
> v?
Ja
FRED
> Würde sagen ja, bin mir aber nicht sicher...
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