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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - holomorphe Funktione
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holomorphe Funktione: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Mi 07.06.2006
Autor: susi2006

Hallo!

Laut Satz gilt:

Sei U ein Gebiet und [mm] f:U\to\IC [/mm] stetig, dann besitzt f eine Stammfunktion, die holomorph ist, mit [mm] F:U\to\IC [/mm] was gleichbedeutend ist, also [mm] \gdw [/mm]

[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} [/mm] = 0 für jede geschlossene stetige Kurve [mm] \gamma [/mm] in U

Meine Frage: Wenn ich die Funktion [mm] f(z)=\overline{z} [/mm] betrachte. Diese Funktion ist auf ganz [mm] \IC [/mm] stetig und müsste somit eine holomorphe Stammfunktion besitzen.
Aber [mm] \integral_{\gamma}^{}{\overline{z} dz} [/mm] ist doch nicht für jede geschlossene Kurve = 0 und zudem ist ja eine holomorphe Funktion unendlich oft diffbar.
Wenn ich die Stammfunktion von [mm] f(z)=\overline{z} [/mm] komplex differenziere, also [mm] F'(z)=f(z)=\overline{z}. [/mm]
Aber [mm] F''(z)=(\overline{z})' [/mm] ist nicht komplex diffbar!!

Ich weiß nicht, wo mein Fehler ist. Vielleicht kann mir jemand dabei helfen.
Vielen Dank!

        
Bezug
holomorphe Funktione: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Mi 07.06.2006
Autor: t.sbial


> Hallo!
>  
> Laut Satz gilt:
>  
> Sei U ein Gebiet und [mm]f:U\to\IC[/mm] stetig, dann besitzt f eine
> Stammfunktion, die holomorph ist, mit [mm]F:U\to\IC[/mm] was
> gleichbedeutend ist, also [mm]\gdw[/mm]
>  
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}[/mm] = 0 für jede geschlossene
> stetige Kurve [mm]\gamma[/mm] in U.

Dieses was gleichbedeutend ist sollte man weglassen das ist hier fehl am Platz. Der Satz geht also so:
Sei U ein Gebiet und [mm]f:U\to\IC[/mm] stetig, dann besitzt f eine
Stammfunktion, die holomorph ist, mit [mm]F:U\to\IC[/mm] genau dann wenn  [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}[/mm] = 0 für jede geschlossene stetige Kurve [mm]\gamma[/mm] in U.
Die Stammfunktion kann dann definiert werden  durch F(z)= [mm] \integral_{a}^{z}{f(x) dx} [/mm] da das Integral ja wegunabhängig ist.
D.h. also es reicht nicht das f auf U stetig ist damit eine Stammfunktion existiert. Wie dein Bsp. ja auch zeigt.
Gruß

Bezug
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