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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 Di 18.11.2008 | | Autor: | Susan86 |
| Aufgabe | | Es sei U [mm] \subseteq \IC [/mm] offen und A [mm] \subseteq [/mm] U habe keine Häufungspunkte in U. Zeigen Sie U - A ist offen für alle kompakten Mengen K [mm] \subseteq [/mm] U ist A [mm] \cap [/mm] K endlich. Zeigen Sie weiter, für g, h holomorph in U und h [mm] \not= [/mm] 0, dass f=g/h meromorph in U ist |
Hallo erstmal...
....wieder einmal eine für mich unlösbare Aufgabe.
Also hier erstmal meine Ideen, weis aber nicht ob die so leicht umsetzbar sind...
1. [mm] U\A [/mm] hat keine Häufungspunkte , wie ziegt man sowas am besten, Limes vielleicht?
2. A geschnitten mit K ist endlich , vielleicht mit folgen oder Überdeckungskompakt, auch nicht so einfach zu zeigen, oder?
3. g/h ist meromorph. Da hab ich absolut keine Idee, eine meromorphe Funktion ist doch eine Funktion , die bis auch ihre Pole holomorph ist, aber wie mach ich damit weiter?
Danke schonmal!
Glg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:48 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Es sei U [mm]\subseteq \IC[/mm] offen und A [mm]\subseteq[/mm] U habe keine
> Häufungspunkte in U. Zeigen Sie U - A ist offen für alle
> kompakten Mengen K [mm]\subseteq[/mm] U ist A [mm]\cap[/mm] K endlich. Zeigen
> Sie weiter, für g, h holomorph in U und h [mm]\not=[/mm] 0, dass
> f=g/h meromorph in U ist
> Hallo erstmal...
> ....wieder einmal eine für mich unlösbare Aufgabe.
> Also hier erstmal meine Ideen, weis aber nicht ob die so
> leicht umsetzbar sind...
>
> 1. [mm]U\A[/mm] hat keine Häufungspunkte , wie ziegt man sowas am
> besten, Limes vielleicht?
Vor. ist: A [mm] \subseteq [/mm] U und A hat keine HPe in U. Du sollst zeigen: U \ A ist offen
Nimm ein w [mm] \in [/mm] U \ A . Zu zeigen ist: es gibt eine Umgebung V von w : V [mm] \subseteq [/mm] U \ A. Wir nehmen an, eine solche Umgebung gäbe es nicht. Dann enthält jede Umgebung von w einen Punkt aus A. Somit gibt es eine Folge [mm] (w_n) [/mm] in A, die gegen w konvergiert. Dann ist aber w ein HP von A und w [mm] \in [/mm] U,
Widerspruch !
> 2. A geschnitten mit K ist endlich , vielleicht mit folgen
> oder Überdeckungskompakt, auch nicht so einfach zu zeigen,
> oder?
Annahme: A [mm] \cap [/mm] K ist unendlich. Dann enthält A [mm] \cap [/mm] K eine Folge [mm] (z_n) [/mm] mit [mm] z_l \not= z_k [/mm] für l [mm] \not= [/mm] k. K ist kompakt, also enthält [mm] (z_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge, deren Limes zu K gehört. Dieser Limes ist dann aber ein HP von A und dieser Limes gehört zu U. Widerspruch !!
> 3. g/h ist meromorph. Da hab ich absolut keine Idee, eine
> meromorphe Funktion ist doch eine Funktion , die bis auch
> ihre Pole holomorph ist, aber wie mach ich damit weiter?
Hier nimmst Du als A : A = {w [mm] \in [/mm] U: h(w) =0}. Da h nicht identisch auf U verschwindet, hat A in U keine Häufungspunkte. Nun überlege Dir, dass g/h höchstens in den Punkten von A Pole hat
FRED
>
> Danke schonmal!
>
>
> Glg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 18.11.2008 | | Autor: | Susan86 |
Wow, das ist schonmal echt super, vielen Dank, trotzdem sind hier und da noch ein paar kleine Unkarheitn. Also:
Du folgerst in 1 , dass wenn diese Umgebung V nicht existiert, dass jede Umgebung von w einen Punkt aus A enthält. das ist mir soweit klar. Aber wie kann ich dann daraus folgern, dass eine Folge existiert, die gegen w konvergiert???
Bei 2 Wie kann ich aus A geschnitten K = unendlich folgern, dass diese Menge eine Folge zn enthält und aus der Kompaktheit von K, dass zn eine konvergente Teilfolge enthält?
Bei 3: Was meinst du mit: h verschwindet nicht identisch auf U?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Di 18.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wow, das ist schonmal echt super, vielen Dank, trotzdem
> sind hier und da noch ein paar kleine Unkarheitn. Also:
> Du folgerst in 1 , dass wenn diese Umgebung V nicht
> existiert, dass jede Umgebung von w einen Punkt aus A
> enthält. das ist mir soweit klar. Aber wie kann ich dann
> daraus folgern, dass eine Folge existiert, die gegen w
> konvergiert???
Wenn jede Umgebung von w einen weiteren Punkt aus A enthält, dann ist w per Definition ein Häufungspunkt von A.
> Bei 2 Wie kann ich aus A geschnitten K = unendlich folgern,
> dass diese Menge eine Folge zn enthält und aus der
> Kompaktheit von K, dass zn eine konvergente Teilfolge
> enthält?
Wenn die Menge unendlich viele ELemente hat, dann kann ich daraus irgendeine unendliche Folge bilden. Welche das ist, ist egal, Denn:
Jede unendliche Folge in einer kompakten Menge (in [mm] $\IC$) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge.
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> Bei 3: Was meinst du mit: h verschwindet nicht identisch
> auf U?
Die Voraussetzung steht in der Aufgabe: [mm] $h\not=0$, [/mm] das heisst, h ist nicht die Nullfunktion. (Es heisst nicht, dass h keine Nullstellen hat! Denn dann wäre die Aussage trivial: hat h keine Nullstellen, dann ist g/h sogar holomorph.)
Viele Grüße
Rainer
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