holomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Wir haben in der Vorlesung folgendes aufgeschrieben:
Eine holom. Funktion [mm] f:U\to\IC [/mm] hat im Pkt [mm] a\in [/mm] U eine Nullstelle der Ordnung (=Vielfachheit) [mm] n\in\IN:\gdw \begin{cases} f(a)=f'(a)=...=f^{(n-1)}(a)=0 \\ f^{(n)}(a)\not= 0 \end{cases} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(z)= [mm] \summe_{k=n}^{\infty}a_k(z-a)^k, a_n\not= [/mm] 0
[mm] \gdw f(z)=(z-a)^n*g(z) [/mm] mit geeign. g, holom. in Umgebung von a, [mm] g(a)\not= [/mm] 0
Ich habe nun versucht, diese Äquivalenzen zu verstehen, und dabei habe ich schon ein Problem bei der ersten, die ja wohl eigentlich eine Art Definition ist. Ich habe es mal mit der Funktion [mm] f(x)=(x-a)^2 [/mm] ausprobiert, es kommt schon hin, dass dann die Ableitung auch gleich 0 ist, und x=a eine zweifache Nullstelle ist. Aber wie stellt man sich das allgemein vor? Was hat denn die Ableitung mit der Nullstelle der Funktion zu tun? Ob man das irgendwie mit Worten erklären kann?
Die zweite Äquivalenz verstehe ich irgendwie überhaupt nicht - wie stellt man sich das vor?
Und bei der dritten weiß ich auch nicht so ganz weiter...
Und noch eine Frage: Gilt das alles im Reellen genauso? Oder was ist da anders?
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Wir haben in der Vorlesung folgendes aufgeschrieben:
>
> Eine holom. Funktion [mm]f:U\to\IC[/mm] hat im Pkt [mm]a\in[/mm] U eine
> Nullstelle der Ordnung (=Vielfachheit) [mm]n\in\IN:\gdw \begin{cases} f(a)=f'(a)=...=f^{(n-1)}(a)=0 \\ f^{(n)}(a)\not= 0 \end{cases}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] f(z)= [mm]\summe_{k=n}^{\infty}a_k(z-a)^k, a_n\not=[/mm] 0
> [mm]\gdw f(z)=(z-a)^n*g(z)[/mm] mit geeign. g, holom. in Umgebung
> von a, [mm]g(a)\not=[/mm] 0
>
> Ich habe nun versucht, diese Äquivalenzen zu verstehen, und
> dabei habe ich schon ein Problem bei der ersten, die ja
> wohl eigentlich eine Art Definition ist. Ich habe es mal
> mit der Funktion [mm]f(x)=(x-a)^2[/mm] ausprobiert, es kommt schon
> hin, dass dann die Ableitung auch gleich 0 ist, und x=a
> eine zweifache Nullstelle ist. Aber wie stellt man sich das
> allgemein vor? Was hat denn die Ableitung mit der
> Nullstelle der Funktion zu tun? Ob man das irgendwie mit
> Worten erklären kann?
Nehmen wir doch mal dein Beispiel. An der Stelle $x=a$ hat $f$ eine Nullstelle. Zugleich ist dort aber auch die Ableitung $0$. Dann hat man eine zweifache Nullstelle. Stell dir eine Parabel vor, denn im Reellen ist ja der Graph von [mm] $(x-a)^2$ [/mm] eine Parabel. Eine Parabelfunktion kann keine Nullstelle haben, zwei Nullstellen oder eine doppelte, wie bei [mm] $(x-a)^2$. [/mm] Im letzten Fall liegt der Scheitelpunkt genau auf der $x$-Achse, d.h. an der Stelle $x=a$ verschwindet nicht nur die Funktion, sondern auch die erste Ableitung. Für höhere Dimensionen gilt Ähnliches. Im Reellen: Je mehr Ableitungen verschwinden, desto eine bessere Näherung ist die $x$-Achse für die Funktion an diesem Punkt, d.h. desto dichter schmiegt sich die Funktion an die $x$-Achse ran. Im Komplexen gelten abstrakt ähnliche Überlegungen, die man sich aber nicht ganz so leicht verdeutlichen kann.
> Die zweite Äquivalenz verstehe ich irgendwie überhaupt
> nicht - wie stellt man sich das vor?
Naja, bilde mal die Taylorreihe von $f$ im Punkt $a$. Es gilt:
$f(z)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k(z-a)^k$ [/mm] mit [mm] $a_k= \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$.
[/mm]
Wenn du die ersten $n-1$ Ableitungen an der Stelle $a$ verschwinden, erhält man eben [mm] $a_0=a_1=\ldots=a_{k-1}=0$, [/mm] also:
$f(z)= [mm] \summe_{k=n}^{\infty}a_k(z-a)^k$.
[/mm]
Umgekehrt kann man aus:
$f(z)= [mm] \summe_{k=n}^{\infty}a_k(z-a)^k$ [/mm]
auch folgern, dass [mm] $a_k [/mm] = [mm] \frac{f^{(k)}(a)}{k!}=0$ [/mm] gilt, wegen des Identitätssatzes für Potenzreihen (wenn eine Funktion analytisch ist, dann ist die Potenzreihe in einer Umgebung des Entwicklungspunktes auch eindeutig bestimmt und gleich der bekannten Taylorreihe um diesen Punkt).
> Und bei der dritten weiß ich auch nicht so ganz weiter...
Naja, definiere doch einfach:
$g(z) = [mm] \summe_{k=n}^{\infty} a_k (z-a)^{k-n}$.
[/mm]
Und für die Rückrichtung entwickelst du $g$ in seine Potenzreihe:
$g(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_k (z-a)^k$
[/mm]
und erhältst:
$f(z) = [mm] (z-a)^n \cdot \summe_{k=0}^{\infty} b_k (z-a)^k [/mm] = [mm] \summe_{k=n}^{\infty} a_k(z-a)^k$
[/mm]
mit
[mm] $a_{n+i}:=b_i$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für die Antwort. Ich hatte zwar gehofft, dass man sich das noch irgendwie besser veranschaulichen kann - aber dann muss ich es halt so hinnehmen.
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Was meinst du mit "noch mehr veranschaulichen"? Das ist doch, denke ich, sehr anschaulich, im Gegensatz zu dem, was man in den meisten anderen Bereichen der Mathematik zu schlucken hat.
Nimm dir eine Parabel, die zwei Nullstellen hat, und schiebe sie immer weiter hoch. Die Nullstellen nähern sich immer mehr, bis zu einer (doppelten) Nullstelle verschmelzen. Genau in diesem Punkt ist dann der Scheitelpunkt der Parabel, dessen Tangente waagerecht verläuft (d.h. die Ableitung verschwindet in diesem Punkt).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Was meinst du mit "noch mehr veranschaulichen"? Das ist
> doch, denke ich, sehr anschaulich, im Gegensatz zu dem, was
> man in den meisten anderen Bereichen der Mathematik zu
> schlucken hat.
>
> Nimm dir eine Parabel, die zwei Nullstellen hat, und
> schiebe sie immer weiter hoch. Die Nullstellen nähern sich
> immer mehr, bis zu einer (doppelten) Nullstelle
> verschmelzen. Genau in diesem Punkt ist dann der
> Scheitelpunkt der Parabel, dessen Tangente waagerecht
> verläuft (d.h. die Ableitung verschwindet in diesem
> Punkt).
Du hast Recht: wenn man die Parabel "hochschiebt", dann ist es wirklich sehr anschaulich. Aber mit den beiden anderen Äquivalenzen - das fand ich nicht so wirklich anschaulich...
Viele Grüße
Christiane
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