holomorphe konst. Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 29.03.2006 | | Autor: | benta |
| Aufgabe | | Sei f(z) eine holomorphe Funktion und es gelte: f(z) = f(2z) für alle z aus [mm] \IC. [/mm] Man zeige, dass dann f konstant sein muss. |
Ich weiß nicht so recht, wie ich an den Beweis herangehen soll. Ich hab's mit dem Satz von Liouville versucht, bin aber nicht weit gekommen. Bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mi 29.03.2006 | | Autor: | topotyp |
Nehme z=1. Dann ist wegen f(z)=f(2z)
[mm] f(1)=f(1/2)=f(1/2^2)=f(1/2^3)=...=f(1/2^n) [/mm] für alle natürlichen n.
Also ist die Funktion f konstant auf einer Menge, nämlich
[mm] \{2^{-n}; n\in N \} [/mm] die im Definitionsgebiet von f, nämlich C , einen
Häufungspunkt (nämlich 0) hat. Daher - weil f holomorph und
C zusammenhängend ist - ist f nach dem Identitätssatz konstant!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mi 29.03.2006 | | Autor: | benta |
Vielen Dank für die schnelle Antwort, das hat mir sehr geholfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Mi 29.03.2006 | | Autor: | topotyp |
Es gibt natürlich auch eine Lösung mit dem Liouville Satz.
ZB so: Wegen f(z)=f(2z) für alle z, ist die Wertemenge von f
allein durch alle Werte f(z) mit z aus dem abgeschlossenen Einheitskreis
gegeben. (Also zB [mm] f(3)=f(3/2)=f(3/2^2) [/mm] und [mm] 3/2^2 [/mm] liegt dort drin!)
Aber auf dieser Menge hat |f| als stetige Funktion ein Maximum.
Also ist f eine holomorphe Funktion von C nach C die beschränkt ist.
Also ist f konstant.
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Funktioniert das so ähnlich mit [mm] f(z)=f(z^2)? [/mm] Oder muss ich da anders rangehen? und wenn ja wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 20.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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