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Hi wenn ich Homöomorphie von Mengen zeigen muss habe ich ziemlich Probleme mir den entsprechenden Homöomorphismus zu überlegen und will das etwas üben.
Ich habe zB. hier die Aufgabe
1. zu zeigen, dass [mm] \mathbb{R}^n/(\mathbb{R}^n\backslash B_1(0)) [/mm] und [mm] \overline{B}_1(0)/(\overline{B}_1(0)\backslash B_1(0)) [/mm] homöomorph sind, wobei [mm] B_1(0) [/mm] Ball mit Radius <1 um 0 ist.
[mm] 2.\sim [/mm] sei die Äquivalenzrelation auf [mm] \mathbb{R}^{n+1}\backslash \{0\} [/mm] die durch die [mm] \mathbb{R}\backslash \{0\} [/mm] - Wirkung entstanden ist, dh. [mm] x\sim [/mm] x' [mm] \gdw \exists \lambda \in \mathbb{R}\backslash \{0\} [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] *x=x'.
Nun ist [mm] H\subset \mathbb{R}^{n+1}\backslash \{0\} [/mm] die Halbsphäre [mm] H=\{x\in S^n :x_1 \ge 0\}, [/mm] wobei [mm] S^n=\{x\in \mathbb{R}^{n+1}: \abs{x}=1\} \subset \mathbb{R}^{n+1}.
[/mm]
Und [mm] \sim_H [/mm] sei die Einschränkung von [mm] \sim [/mm] auf H, d.h. für h,h' [mm] \in [/mm] H gilt dass [mm] h\sim_H [/mm] h' [mm] \gdw h\sim [/mm] h'.
zu zeigen ist, dass [mm] H/\sim_H [/mm] homöomorph zu [mm] \mathbb{R}\mathbb{P}^n [/mm] ist.
Zu meinen Versuchen:
Bei der 1. habe ich mir das für n=1 mal aufgemalt. Ich habe einmal dann für [mm] \mathbb{R}^1/(\mathbb{R}^1\backslash [/mm] (-1,1)), bedeutet das jetzt genau dass x , [mm] y\in \mathbb{R}^1 [/mm] äquivalent sind, wenn wenn sie außerhalb von (-1,1) liegen, also das alles außerhalb von (-1,1) identifiziert wird? Was wäre das geometrisch?
Und [mm] \overline{B}_1(0)/(\overline{B}_1(0)\backslash B_1(0)) [/mm] wäre dann für n=1 [mm] [0,1]/\{1,-1\}. [/mm]
und zur 2. kenne ich nur den Homöomorphismus [mm] S^n\to \mathbb{R}\mathbb{P}^n [x]\mapsto [x\parallel x\parallel [/mm] ]. Ich dachte mir, dass man das irgendwie damit verknüpfen kann. Winkel halbieren bekäme man mit der Wurzel.
Wäre super, wenn ihr mir da helfen könnt, ich will das wirklich unbedingt lernen.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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