homogenes LGS,mehrere Lösungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
vielleicht wäre jemand so nett und würde meinen Gedankengang zur folgenden Aufgabe überprüfen:
Bestimmen Sie für welche [mm] $\lambda \in [/mm] R$ folgendes homogene LGS mehr als eine Lösung hat. Berechnen Sie für diese [mm] $\lambda$ [/mm] sämtliche Lösungen.
$(1 + [mm] \lambda)x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$
[mm] $2x_1 [/mm] +(2 - [mm] \lambda)x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 0$
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + (1 + [mm] \lambda)x_3 [/mm] = 0$
Ich habe die erweiterte Koeffizientenmatrix mit dem Gauß Algo umgeformt in
[mm] $\pmat{ (1 + \lambda) & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \bruch{-\lambda^2 + \lambda}{1+\lambda} & \bruch{2\lambda}{1+\lambda}
& 0 \\ 0 & \bruch{\lambda}{1+\lambda} & \bruch{\lambda^2+2\lambda}{1+\lambda} & 0 }$
[/mm]
Ich weiss nicht mehr wie die Rangbedingung für die Matrix A mit der erweiterten Matrix (A|b) ist , damit das LGS mehrere Lösungen hat....ich finde es auch nicht mehr in meinem LinA Buch und Google spuckt es auch nicht raus.
Es wäre super, wenn jemand da mir helfen könnte :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 03.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich denke mal am schnellsten geht es hier über die Determinante und die Nullstellen des entstehenden Polynoms:
Deine Matrix ist ganeu dann nicht injektiv (also hat mehr Lösungen für den homogenen Fall), wenn sie nicht bijektiv ist (weil lineare Abbildung zwischen gleichdimensionalen Räumen) und dies genau dann wenn sie nicht invertierbar ist, wenn also die Determinante gleich 0 wird.
Die Determinante ist hier ein Polynom in Lambda vom Grad höchstens 3 und deshalb sollten die Nullstellen wohl nicht zu schwer werden...
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:59 So 03.07.2005 | | Autor: | zildjianK |
Hallo DaMenge,
ich bekomme das Polynom [mm] $-\lambda^3-\lambda^2-4\lambda=0$ [/mm] oder
[mm] $-\lambda(\lambda^2+\lambda+4)=0$ [/mm] und die einzige Lösung ist [mm] $\lambda=0$.
[/mm]
Da ich aber nicht davon ausgehe, dass ich Determinanten benutzen darf (weil wir sie noch nicht im Stoff hatten)... möchte ich eine Frage zu der umgeformten Matrix stellen:
$ [mm] $\pmat{ (1 + \lambda) & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \bruch{-\lambda^2 + \lambda}{1+\lambda} & \bruch{2\lambda}{1+\lambda} & 0 \\ 0 & \bruch{\lambda}{1+\lambda} & \bruch{\lambda^2+2\lambda}{1+\lambda} & 0 }$ [/mm] $
wenn ich die Zeilen [mm] $\bruch{-\lambda^2+\lambda}{1+\lambda} [/mm] + [mm] \bruch{2\lambda}{1+\lambda}$ [/mm] und [mm] $\bruch{\lambda}{1+\lambda} [/mm] + [mm] \bruch{\lambda^2+2\lambda}{1+\lambda}$ [/mm] gleichsetze, bekomme ich zum Schluß ....... [mm] $2\lambda^2=0$ [/mm] und das ist ebenfalls für [mm] $\lambda=0$.
[/mm]
Mit dem Gleichsetzen wollte ich praktisch dieses [mm] $\lambda$ [/mm] finden, dass beide Zeilen "linear abhängig" macht, sodass der Rang der Matrix A nicht voll ist.
Nun weiss ich nicht wie der Rang A mit dem erweiterten Rang A|b im Verhältnis steht...denn ich glaub es ist Rang(A)=Rang(A|b)=2.
Wie ist diese Bedingung dass ein LGS mehrere Lösungen hat... reicht Rang(A) $< n$ aus?
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> Bestimmen Sie für welche [mm]\lambda \in R[/mm] folgendes homogene
> LGS mehr als eine Lösung hat. Berechnen Sie für diese
> [mm]\lambda[/mm] sämtliche Lösungen.
>
> [mm](1 + \lambda)x_1 + x_2 + x_3 = 0[/mm]
> [mm]2x_1 +(2 - \lambda)x_2 + 2x_3 = 0[/mm]
>
> [mm]x_1 + x_2 + (1 + \lambda)x_3 = 0[/mm]
>
> Ich habe die erweiterte Koeffizientenmatrix mit dem Gauß
Die erweiterte Matrix brauchst du doch nur bei inhomogenen LGS!
Das LGS hat genau dann mehr als eine Lösung, falls der Rang der Matrix kleiner als 3 ist. (Denn die Dimension des Lösungsraums eines homogenen LGS ist [mm]n - \mathrm{rang} A[/mm].)
Den Rang kannst du ja mit dem Gauß-Algorithmus bestimmen.
*edit* Ach ja, du teilst ja durch [mm]\lambda + 1[/mm], da ist eine Fallunterscheidung [mm]\lambda = -1, \lambda \neq -1[/mm] angesagt.
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Okay, ich betrachte die "normale" Matrix und nicht die erweiterte. Ich habe jetzt ausgerechnet, dass [mm] $\lambda=0$
[/mm]
wenn ich es in $ [mm] $\pmat{ (1 + \lambda) & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \bruch{-\lambda^2 + \lambda}{1+\lambda} & \bruch{2\lambda}{1+\lambda} & 0 \\ 0 & \bruch{\lambda}{1+\lambda} & \bruch{\lambda^2+2\lambda}{1+\lambda} & 0 }$ [/mm] $ einsetze bekomme ich die Matrix [mm] $\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & }$, [/mm] d.h. wir haben Rang 1.
Es bleibt also nur erste Zeile [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$ übrig.
Wie soll ich jetzt dies als Lösung schreiben? Da [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] als Skalare die 1 haben, müssen nicht diese die Null sein, damit die Gleichung erfüllt ist? Also Lösung [mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 So 03.07.2005 | | Autor: | taura |
Hallo
> Okay, ich betrachte die "normale" Matrix und nicht die
> erweiterte. Ich habe jetzt ausgerechnet, dass [mm]\lambda=0[/mm]
>
> wenn ich es in[mm][/mm][mm] \pmat{ (1 + \lambda) & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \bruch{-\lambda^2 + \lambda}{1+\lambda} & \bruch{2\lambda}{1+\lambda} & 0 \\ 0 & \bruch{\lambda}{1+\lambda} & \bruch{\lambda^2+2\lambda}{1+\lambda} & 0 }[/mm][mm][/mm]
> einsetze bekomme ich die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm],
> d.h. wir haben Rang 1.
>
> Es bleibt also nur erste Zeile [mm]x_1 + x_2 + x_3 = 0[/mm] übrig.
>
> Wie soll ich jetzt dies als Lösung schreiben? Da
> [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] als Skalare die 1 haben, müssen nicht diese die
> Null sein, damit die Gleichung erfüllt ist? Also Lösung
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ?
Nein, du kannst diese Gleichung zum Beispiel nach [mm]x_1[/mm] auflösen:
[mm]x_1=-x_2-x_3[/mm]
Nun darfst du [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] beliebig wählen, setze also [mm]x_2=\lambda[/mm] und [mm]x_3=\mu[/mm] mit [mm]\lambda, \mu \in K \ bel[/mm].
Du erhälst also als Lösung:
[mm]x_1 = - \lambda - \mu[/mm]
[mm]x_2 = \lambda [/mm]
[mm]x_3 = \mu [/mm]
Oder aber: [mm] \lambda \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} + \mu \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] mit [mm] \lambda , \mu \in K \ bel.[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 So 03.07.2005 | | Autor: | zildjianK |
Jeap, jetzt leuchtet es mir ein!
Vielen Dank taura :)
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