hyperbolische Funktionen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Die hyperbolischen Funktionen sind wie folgt definiert:
[mm] sinh(x)=\bruch{1}{2}*(e^{x}-e^{-x}), cosh(x)=\bruch{1}{2}*(e^{x}+e^{-x}).
[/mm]
Zeigen, dass für alle komplexen Zahlen x,y [mm] \in \IC [/mm] gilt:
a) [mm] sinh(x)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] und
[mm] cosh(x)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{(2n)!} [/mm] |
Hallo Leute,
Ich komme hier bei einer Umformung nicht mehr weiter.
Es gilt:
[mm] sinh(x)=\bruch{1}{2}*(\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{(n)!}-\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-x)^{n}}{(n)!})=\bruch{1}{2}*(\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{(n)!}-\bruch{(-x)^{n}}{(n)!})=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}-(-x)^{n}}{2*(n)!}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}-(-x)^{n}}{2*n(n-1)!}=...
[/mm]
[mm] cosh(x)=\bruch{1}{2}*(\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{(n)!}+\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-x)^{n}}{(n)!})=\bruch{1}{2}*(\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{(n)!}+\bruch{(-x)^{n}}{(n)!})=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}+(-x)^{n}}{2*(n)!}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}+(-x)^{n}}{2*n(n-1)!}=...
[/mm]
Ich hab mir die Gleichheit schon klar gemacht, indem ich einfach einpaar Summnden aufgeschrieben habe, aber hier komme ich nicht mehr weiter.
Hat jemand einen Tipp?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> Die hyperbolischen Funktionen sind wie folgt definiert:
>
> [mm]sinh(x)=\bruch{1}{2}*(e^{x}-e^{-x}), cosh(x)=\bruch{1}{2}*(e^{x}+e^{-x}).[/mm]
>
> Zeigen, dass für alle komplexen Zahlen x,y [mm]\in \IC[/mm] gilt:
>
> a) [mm]sinh(x)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> und
>
> [mm]cosh(x)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> Hallo
> Leute,
>
> Ich komme hier bei einer Umformung nicht mehr weiter.
>
> Es gilt:
>
> [mm]sinh(x)=\bruch{1}{2}*(\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{(n)!}-\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-x)^{n}}{(n)!})=\bruch{1}{2}*(\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{(n)!}-\bruch{(-x)^{n}}{(n)!})=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}-(-x)^{n}}{2*(n)!}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier solltest du deine Überlegungen ansetzen.
Für gerades [mm]n\in\IN[/mm] steht in der Summe im Zähler [mm]x^n-x^n=0[/mm]
All diese Summanden spielen also keine Rolle, allein die Summanden für [mm]n[/mm] ungerade fallen ins Gewicht, also für [mm]n=2k+1, k\in\IN[/mm]
Für solche steht im Zähler [mm]x^{2k+1}-(-x^{2k+1})=2x^{2k+1}[/mm], im Nenner [mm]2(2k+1)![/mm]
Ergibt also [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
Für [mm]\cosh(x)[/mm] ganz ähnlich ...
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}-(-x)^{n}}{2*n(n-1)!}=...[/mm]
>
> [mm]cosh(x)=\bruch{1}{2}*(\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{(n)!}+\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-x)^{n}}{(n)!})=\bruch{1}{2}*(\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{(n)!}+\bruch{(-x)^{n}}{(n)!})=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}+(-x)^{n}}{2*(n)!}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}+(-x)^{n}}{2*n(n-1)!}=...[/mm]
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> Ich hab mir die Gleichheit schon klar gemacht, indem ich
> einfach einpaar Summnden aufgeschrieben habe, aber hier
> komme ich nicht mehr weiter.
> Hat jemand einen Tipp?
>
> Vielen Dank
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo schachuzipus,
danke, jetzt hauts hin.
lg
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