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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Di 27.10.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | | Es seien X [mm] \overrightarrow{f} [/mm] Y [mm] \overrightarrow{g} [/mm] X Abbildungen von Mengen mit g [mm] \circ [/mm] f = id. Man zeige, dass f injektiv und g surjektiv ist. |
Ich nehme mal an, dass g [mm] \circ [/mm] f = id bedeutet, dass es sich hierbei um eine identische Abbildung, also eine Bijektion handelt.
Also ist f(g(x)) = x, x [mm] \in [/mm] X
Zu zeigen: f: X [mm] \to [/mm] Y ist injektiv und g: Y [mm] \to [/mm] X ist surjektiv.
Da das Ganze ja eine Bijektion ist, ist damit nicht klar, dass g surjektiv ist?
Naja, so ganz klar ist mir nicht, wie ich da rangehe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Di 27.10.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Ich nehme mal an, dass g [mm]\circ[/mm] f = id bedeutet, dass es
> sich hierbei um eine identische Abbildung, also eine
> Bijektion handelt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nicht nur um eine, sondern um die identische Abbildung von X nach X.
>
> Also ist f(g(x)) = x, x [mm]\in[/mm] X
>
> Zu zeigen: f: X [mm]\to[/mm] Y ist injektiv und g: Y [mm]\to[/mm] X ist
> surjektiv.
>
> Da das Ganze ja eine Bijektion ist, ist damit nicht klar,
> dass g surjektiv ist?
Klar ist das klar, aber warum?
Ich denke, bei dieser Aufgabe sind keine großen Gedanken gefordert sondern es geht darum, auch einfache Sachverhalte sauber darzustellen und ausgehend von der Definition zu argumentieren.
Also: $g: Y [mm] \to [/mm] X$ ist surjektiv, wenn es für alle [mm] $x\in [/mm] X$ ein $y [mm] \in [/mm] Y$ gibt, so dass $f(y) = x$. Wenn Du jetzt ein passendes $y$ angeben kannst, dann glaube ich dir auch, dass $g$ sujektiv ist, bei "ist klar" noch nicht unbedingt.
>
> Naja, so ganz klar ist mir nicht, wie ich da rangehe.
Den Ansatz für "g ist surjektiv" habe ich ja schon mal hingeschrieben, bei "f ist injektiv" solltest Du genauso rangehen: die Definition von "injektiv" aufschreiben und dann haarklein begründen, warum das auf f zutrifft.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 27.10.2009 | | Autor: | Doemmi |
So, mit ein paar Chips lässt es sich einfacher arbeiten...
Beh.: f ist injektiv:
Seien [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}), [/mm] für [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] X
zz. [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] g(f(x_{1})) [/mm] = [mm] g(f(x_{2})) [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
Da g [mm] \circ [/mm] f injektiv (da bijektiv) ist, gilt die Aussage
Beh.: g ist surjektiv:
Sei x [mm] \in [/mm] X.
zz. [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y : g(y) = x
Da g [mm] \circ [/mm] f surjektv (da bijektiv), gibt es ein x' [mm] \in [/mm] X mit g(f(x')) = x
[mm] \Rightarrow [/mm] x = x', da g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
y := f(x') [mm] \Rightarrow [/mm] g(y) = g(f(x')) = x
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Hallo,
im Prinzip ist es goldrichtig, was Du tust, und Du kannst das so lassen.
Ich würde trotzdem nicht mit der Bijektivität von [mm] g\circ [/mm] f argumentieren. So weit muß man gar nicht denken, obgleich die Identität natürlich bijektiv ist.
Es reicht hier, wenn man verwendet, daß [mm] g\circ [/mm] f=id.
Die Surjektivität ist dann sowas von übersichtlich: Sei [mm] x\in [/mm] X und y:= f(x). Es ist g(y)=g(f(x))=x, als surjektiv.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:08 Mi 28.10.2009 | | Autor: | Doemmi |
Merci beaucoup!
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