im Nullpunkt diffbar? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist die Funktion $ f : [mm] \IR_+ \to \IR [/mm] $ mit
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}-\wurzel{x}}, & \mbox{für }x\mbox{>0} \\
0, & \mbox{für }x\mbox{=0}
\end{matrix}\right. [/mm]
im Nullpunkt differenzierbar? |
Guten Tag.
Ich bin mir bei dieser Aufgabe ein wenig unsicher.
1. Frage: Ich denke mir, dass ich den links- und rechtsseigen Limes berechnen soll.
Wenn beide Grenzwerte übereinstimmen, ist es im Nullpunkt differenzierbar, ansonsten nicht?
2. Frage: wie berechne ich genau diese beidseitigen limites?
[mm] \lim_{x \to x_0}f(x)
[/mm]
bei meiner Aufgabe, wäre ja $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $, aber für $ x=0 $ steht ja schon 0?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen kann.
MfG
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Hiho,
> 1. Frage: Ich denke mir, dass ich den links- und rechtsseigen Limes berechnen soll.
Wie willst du denn den linksseitigen Grenzwert berechnen, wenn dafür die Funktion gar nicht definiert ist?
> [mm]\lim_{x \to x_0}f(x)[/mm]
Das ist nicht die Definition von Differenzierbarkeit.
Da solltest du nochmal nachschlagen.
Gruß,
Gono
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Hallo,
ich habe nun das gefunden:
[mm] \lim_{x\rightarrow x_0}\cfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=:f'(x_0)
[/mm]
wäre dieser Ansatz ok?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe nun das gefunden:
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow x_0}\cfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=:f'(x_0)[/mm]
>
> wäre dieser Ansatz ok?
Ja, aber das habe ich Dir in meiner Antwort vor 5 Minuten schon geschrieben. Lautet f wirklich so, wie Du es oben geschrieben hast ?
FRED
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 16.12.2014 | | Autor: | Striker_03 |
ja es lautet so habe ich auch zweimal nun geschrieben ^^
ich glaube wir haben es gleichzeitig geschrieben,sodass ich es nicht gesehen habe.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Funktion [mm]f : \IR_+ \to \IR[/mm] mit
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}-\wurzel{x}}, & \mbox{für }x\mbox{>0} \\
0, & \mbox{für }x\mbox{=0}
\end{matrix}\right.[/mm]
Wie ist denn f in x=1 definiert ??????
Lautet f vielleicht so:
[mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}, & \mbox{für }x\mbox{>0} \\
0, & \mbox{für }x\mbox{=0}
\end{matrix}\right.[/mm]
?
>
> im Nullpunkt differenzierbar?
> Guten Tag.
>
> Ich bin mir bei dieser Aufgabe ein wenig unsicher.
>
> 1. Frage: Ich denke mir, dass ich den links- und
> rechtsseigen Limes berechnen soll.
> Wenn beide Grenzwerte übereinstimmen, ist es im Nullpunkt
> differenzierbar, ansonsten nicht?
>
> 2. Frage: wie berechne ich genau diese beidseitigen
> limites?
>
> [mm]\lim_{x \to x_0}f(x)[/mm]
>
> bei meiner Aufgabe, wäre ja [mm]x_0 = 0 [/mm], aber für [mm]x=0[/mm] steht
> ja schon 0?
>
>
> Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen kann.
>
> MfG
Ergänzend zu Gono:
Untersuche, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] in [mm] \IR [/mm] existiert oder nicht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Di 16.12.2014 | | Autor: | Striker_03 |
nee das mit dem minus stimmt soweit.
Ich hoffe, dass der prof. dort keinen Fehler gemacht hat ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> nee das mit dem minus stimmt soweit.
>
> Ich hoffe, dass der prof. dort keinen Fehler gemacht hat ^^
Doch, das hat er, denn für x=1 ist f nicht definiert, wenn das "minus" stimmt.
FRED
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Hallo,
$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}-f(0)}{x-0} [/mm] $
noch eine Verständnisfrage.
Im Nenner steht ja noch das x? das läuft ja gegen 0. dann habe ich ja 0-0.
oben habe ich ja auch 0-0? also L´hospital? oder bin ich da ganz falsch?
LG
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Hiho,
> Hallo,
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0}\bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}-f(0)}{x-0}[/mm]
Nun doch + im Nenner?
> Im Nenner steht ja noch das x? das läuft ja gegen 0. dann habe ich ja 0-0. oben habe ich ja auch 0-0?
Jo.
> also L´hospital?
Klar, warum nicht gleich die allgemeine Relativitätstheorie oder die Quantenfeldchemie drauf los lassen.
Doppelbruch auflösen und kürzen! Grundlagen anwenden.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Di 16.12.2014 | | Autor: | Striker_03 |
Plus weil fred es meint. Von mir aus auch minus. Kann ja beides machen und den Herrn Einstein fragen.
Klar mach ich Fehler aber gleich so zu reagieren? So macht Mathe sehr viel Spaß.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Plus weil fred es meint.
Auf "+" bin ich nur gekommen, weil f im Falle "-" in x=1 nicht def. ist, der Def. -Bereich von f aber 1 enthält.
> Von mir aus auch minus. Kann ja
> beides machen und den Herrn Einstein fragen.
Nee, das muss man nicht, aber man kann ein wenig rechnen. Wenn man das tut (ich habs gemacht, Du wohl nicht), so kommt:
[mm] \bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}-\wurzel{x}}-f(0)}{x-0}=\bruch{\wurzel[3]{x^5}}{1-\wurzel[6]{x}}
[/mm]
Gegen was sterbt das für x [mm] \to [/mm] 0 ?
FRED
>
>
> Klar mach ich Fehler aber gleich so zu reagieren? So macht
> Mathe sehr viel Spaß.
>
> LG
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Moin,
es würde gegen 0 streben.
also es existiert ein Grenzwert. Aus diesem Grund ist es differenzierbar?
wäre es richtig begründet?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
>
> es würde gegen 0 streben.
Was heißt "würde" ? Es strebt gegen 0.
>
> also es existiert ein Grenzwert. Aus diesem Grund ist es
> differenzierbar?
Ja
> wäre es richtig begründet?
Ja
FRED
>
> MfG
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hallo,
$ [mm] \bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}-f(0)}{x-0}=\bruch{\wurzel[3]{x^5}}{1-\wurzel[6]{x}} [/mm] $
ich habe mal versucht es zu zeigen aber bei mir kommt was anderes raus, könnte jemand sagen was ich falsch gemacht habe?
[mm] \bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x^3}{x(\wurzel[3]{x}+\wurzel{x})} [/mm] = [mm] \bruch{x^3}{x*\wurzel[3]{x}+x*\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{x^3}{x^\bruch{4}{3}+x^\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{x^3}{x^3(x^-\bruch{5}{3}+x^-\bruch{3}{2})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^-\bruch{5}{3}+x^-\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1*x^\bruch{5}{3}}{(x^-\bruch{5}{3}+x^-\bruch{3}{2})*x^\bruch{5}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{x^\bruch{5}{3}}{1+x^\bruch{1}{6}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[3]{x^5}}{1+\wurzel[6]{x}} [/mm]
irgendwo habe ich glaube ich ein Vorzeichenfehler drinne.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Do 18.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> [mm]\bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}-f(0)}{x-0}=\bruch{\wurzel[3]{x^5}}{1-\wurzel[6]{x}}[/mm]
>
> ich habe mal versucht es zu zeigen aber bei mir kommt was
> anderes raus, könnte jemand sagen was ich falsch gemacht
> habe?
>
> [mm]\bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}-f(0)}{x-0}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}}{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^3}{x(\wurzel[3]{x}+\wurzel{x})}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^3}{x*\wurzel[3]{x}+x*\wurzel{x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^3}{x^\bruch{4}{3}+x^\bruch{3}{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^3}{x^3(x^-\bruch{5}{3}+x^-\bruch{3}{2})}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x^-\bruch{5}{3}+x^-\bruch{3}{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1*x^\bruch{5}{3}}{(x^-\bruch{5}{3}+x^-\bruch{3}{2})*x^\bruch{5}{3}}[/mm]
> = [mm]\bruch{x^\bruch{5}{3}}{1+x^\bruch{1}{6}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel[3]{x^5}}{1+\wurzel[6]{x}}[/mm]
>
> irgendwo habe ich glaube ich ein Vorzeichenfehler drinne.
>
> LG
Ja, ja, "+" oder "-" , das war die Frage !
Ich hatte
[mm] \bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}-\wurzel{x}}-f(0)}{x-0}=\bruch{\wurzel[3]{x^5}}{1-\wurzel[6]{x}}
[/mm]
Du hast
[mm] \bruch{\bruch{x^3}{\wurzel[3]{x}+\wurzel{x}}-f(0)}{x-0}=\bruch{\wurzel[3]{x^5}}{1+\wurzel[6]{x}}
[/mm]
FRED
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