imaginäre Zahlen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mo 17.10.2005 | | Autor: | freya |
Man bekommt ja eine imaginäre Zahl, indem man die Wurzel aus einer neg. zahl zieht. Gibt es sozusagen "hinter" den immaginären Zahlen noch andere Zahlen? Wenn ja, wie heißen die? Und wie kommt man auf so eine Zahl? Wie viele anderer "arten" von Zahlen gibt es denn noch? gibt es überhaupt einen punkt, wo man nicht mehr weiter aus den Zahlenarten hinaus "brechen" kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, stefan,
> Wir brauchen also keinen weiteren Erweiterungen? Man
> sagt: [mm]\IC[/mm] ist algebraisch abgeschlossen! Basta, finito!
> 
>
Ach ja: Und was ist mit den Quaternionen?
(Apropos Bonn: Da gibt's doch das Arithmeum!
Tolle Sache das!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Zwerglein!
Naja, von Zahlen erwarte ich wenigstens deren Kommutativität. In dem Sinne sind die Quaternionen keine Zahlen. In dem von mir erklärten Sinne ist jedenfalls definitiv Schluss bei den komplexen Zahlen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Di 18.10.2005 | | Autor: | Adriana |
muss eine 'Zahl' wirklich kommutativ sein, um als Zahl bezeichnet werden zu können? Ist eine Zahl den nicht einfach nur als ein Symbol zu verstehen, mit dem man verschiede Handlungen durch ziehen kann? ja, ein Symbol, die von der Nullstelle aus einen Punkt (oder auch mehrere) auf einen Graden festlegt?
Ich weis zwar sehr wenig (fast gar nichts) über Quaternionen bescheid, doch es kommt doch darauf an, was man für eine Funktion durchzieht, ob es kommutativ ist, oder nicht, oder etwa nicht?
Wenn Quaternionen wirklich die Lösung meiner frage ist, würde es auch bildlich perfekt passen. Wenn man Zahlen mit Dimensionen vergleicht (und das tue ich immer in meinem Kopf), dann hat man zu aller erst einen Zahlengerade (1D) dann einen Zahlenkreuz (2D) und mit den imaginären Zahlen erhällt man endlich einen 3 Eck! (3D!) mir ist unklar, wie man bildlich die 4 ebene zeichnen könnte, doch vom leben her ist mir bewusst dass es eine 4 Dimension gibt (Zeit) daher meine frage ob es einen weiteren Zahlensystem gibt. Und Quaternionen, scheinen (ich gehe nur von dem aus, was ich vor ein paar stunden gelesen habe) in das 4 Dimension zu gehen.
es tut mir leid, wenn meine frage etwas in die Länge gezogen ist, und dass ich über dem, worüber ich nach frage wenige Kenntnisse habe, doch wie ich sonst eine antwort kriegen sollte, wäre mir ein riesiger Rätsel!
Mit freundlichen Grüßen,
Adriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Adriana!
Die Gedanken, die du dir machst, gehen wirklich in eine sehr gute Richtung! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Was eine "Zahl" ist und was nicht, ist mathematisch nicht einwandfrei definiert. Auf jeden Fall stellen die Quaternionen, da hast du völlig recht, eine Erweiterung der komplexen Zahlen dar, allerdings in einem anderen Sinne als in dem von mir aufgezeigten algebraischen Weg über die (Nicht-)Lösbarkeit von polynomialen Gleichungen. Im algebraischen Sinne stellen die komplexen Zahlen einen Abschluss der Zahlenerweiterung dar. Dennoch haben die Quaternionen eine Existenzberechtigung, vor allem in der Physik.
Ich empfehle dir das Buch "Zahlen" von Ebbinghaus, Springer-Verlag. Vieles kann man erst im Mathestudium verstehen, aber einiges, so zum Beispiel die historischen Anmerkungen (auch über Quaternionen) wird dir jetzt schon einsichtig sein. Dieses Buch sollte jeder Mathematiker mal gelesen haben.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Di 18.10.2005 | | Autor: | Adriana |
ach im übrigen würde ich mich gerne bei Ihnen für ihren kompliment ("Du stellst hochintelligente Fragen, ich bin beeindruckt! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") ") bedanken :D
und Ihnen mitteilen, dass ich grundsätzlich an ihrer Simulab-Kurse sehr interessiert wäre, nur konnte ich die antworten auf manche fragen die ich sonst dazu hätte auf die web site von caesar nicht finden, wie die immer wieder auftretender frage über den kosten.
liebe grüße nochmals
Adriana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Mi 19.10.2005 | | Autor: | freya |
>Adriana hat gesagt: den kosten.
Also wirklich, Addy ;)
Aber so ein Kurs würde mich auch interessieren.
Lg, Freya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Do 20.10.2005 | | Autor: | Adriana |
Hallo Freya und steffan!
O jaa!!! du musst dich da auch anmelden! alleine um zu sehen, wie ich mich da vorgestellt habe lohnt es sich!!! ich hab da tausende von fehler drin, die ich sogar selbst entdeckt habe, aber mal ganz ehrlich, es ist doch witziger die drin zu lassen! ich zwinge andere leute dazu zu denken!!! ;p hehe
hey, wir könnten das doch in info. groß sagen, dass es diesen kurs gibt! und die carmen würde das doch auch mögen....oder?
wie viele leute müssten wir den so ca. zusammen kriegen um einen eigenen kurs zu haben? das wär näHmlich extrem cool!!!
LG,
Adr;)ana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Do 20.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Adriana!
Sollen wir die Diskussion nicht lieber "drüben" im Forum führen? Dafür habe ich es ja eigentlich extra einrichten lassen... Naja, dieses eine Mal noch hier...
> O jaa!!! du musst dich da auch anmelden! alleine um zu
> sehen, wie ich mich da vorgestellt habe lohnt es sich!!!
Das stimmt!
> ich hab da tausende von fehler drin, die ich sogar selbst
> entdeckt habe, aber mal ganz ehrlich, es ist doch witziger
> die drin zu lassen! ich zwinge andere leute dazu zu
> denken!!! ;p hehe
![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
> hey, wir könnten das doch in info. groß sagen, dass es
> diesen kurs gibt! und die carmen würde das doch auch
> mögen....oder?
Das wäre toll!
> wie viele leute müssten wir den so ca. zusammen kriegen um
> einen eigenen kurs zu haben? das wär näHmlich extrem
> cool!!!
Ich würde sagen ab acht Leuten würde ich einen Kurs für euch machen, und zwar einen Komplettkurs über vier Nachmittage,also eine Art private Projektwoche.
Jetzt aber im anderen Forum, dem Bonner Mathematischen Forum, weiterfragen, okay? Schließlich will ich dort meinen Status als "Lemma" bald mal verlassen. Nee, das ist egal, aber es soll dort ja mal was Leben in die Bude. Und hier im Matheraum sind Threads mit wenig mathematischem Inhalt in den Matheforen eher unerwünscht. Bei mir sind sie aber umso mehr erwünscht, dafür ist "mein" Forum ja gerade da!
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Do 20.10.2005 | | Autor: | Adriana |
Hallo Galois!
zurück zu der frage die mich nun seit einer weile plagt, gibt es denn über haupt ein ende zu den erweiterungs möglichkeiten? gibt es einen punkt, an dem es nicht mehr weitergeht?
**fragezeichen über kopf**
LG,
Adriana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Do 20.10.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Adriana,
die Antwort auf Deine Frage ist ein klares "Jein". ;)
Wenn man bereit ist, seine Ansprüche (also Axiome) an "Zahlen" immer weiter zu senken, ist tatsächlich kein Ende in Sicht. Formal gesprochen: Solange man nur die Axiome eines reellen Vektorraums verlangt (grob übersetzt: man kann noch addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren), findet man beliebig "große", d. h. hochdimensionale, Räume.
Aber Elemente solcher Räume würde kein Mathematiker mehr als "Zahlen" akzeptieren. Deswegen heißen sie ja auch nicht "Zahlen", sondern - welch Überraschung... - eben "Vektoren".
Die Frage ist also: Welche Eigenschaften sollten "Zahlen" unbedingt besitzen?
O.K., man soll sie auf jeden Fall nach "vernünftigen" Regeln addieren und subtrahieren und mit reellen Zahlen multiplizieren können. Das liefert die Struktur eines Vektorraums. Mit anderen Worten: Ein solches Objekt besitzt dann so etwas wie eine "Dimension" (über den reeleen Zahlen [mm] $\IR$).
[/mm]
Zusätzlich will man "Zahlen" aber sicherlich auch multiplizieren können! Dies führt zu dem spezielleren Begriff der ![[]](/images/popup.gif) Algebra (über [mm] $\IR$). [/mm] Von denen gibt es ebenfalls noch beliebig "große"!
Wenn man jetzt aber auch noch fordert, daß man "Zahlen" sinnvoll durcheinander dividieren darf und daß die "1" weiterhin das neutrale Element der Multiplikation ist, so sieht die Sache plötzlich anders aus:
Solche Objekte heißen Divisionalgebren mit Eins. Und von denen gibt es über den reellen Zahlen nur 4 Stück! (Satz von Hurwitz, 1898)
Im einzelnen sind dies unsere alten Bekannten:
- die reellen Zahlen selbst (1-dimensional)
- die komplexen Zahlen (2-dimensional)
- die Quaternionen (4-dimensional)
- die Oktaven(8-dimensional)
Danach ist Schluß mit lustig! :-(
Grüße,
Galois
P.S.: Wenn das etwas schnell war, keine Sorge. Ich glaube nicht, daß das in Deiner morgigen Mathearbeit dran kommt.
Mußte die Details übrigens auch erst in der Wikipedia nachschlagen... ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]")
EDIT: Gerade fällt mir ein: Das Ganze bezieht sich natürlich nur auf endlichdimensionale Erweiterungen. Ansonsten gibt es ja auf jeden Fall noch die transzendenten Körpererweiterungen. Beispielsweise den Körper aller rationalen Funktionen. Oder den der meromorphen Funktionen.
Bonner Mathe-Forum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Do 20.10.2005 | | Autor: | Adriana |
wow!!!! echt VIIEEEELEN dank!!!! :D :D :D :D :D :D ich hatte schon etwas angst, dass meine eigentliche frage hier, wie meistens in der schule nicht wirklich beantwortet wird **schäm**
hehehe ich glaube auch nicht, dass es morgen in meine arbeit dran kommt ...aber es ist doch nicht nur dass, was in der schule läuft und was in den arbeiten dran kommt, was mich interessiert (das was man in der schule in mathe macht finde ich im vergleich tot langweilig). Doch das scheinen viele leute nicht zu verstehen. **hust** ich rede hier ziemlich viel über sachen die nichts mit mathe zu tun haben entschuldigung! ..aber ich wollte mich auf jeden fall bei dir noch bedanken, vor allem, weil du das so schön einfach erklärt hast!!!
LG,
Adriana
(kann aber immer noch sein, dass ich nach einer weile noch eine frage dazu habe)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Adriana |
wäre es denn nicht wichtig, dass man sich auf eine definition für zahlen einigt? ...müsste man unter matematikern denn so etwas nicht genau angeben können?!!!
LG,
Adriana
P.S. entschuldigung für die vielen fehler, die ich immer mache ich bin noch nicht ganz an der idee gewöhnt, dass ich nicht zurück gehen kann und es noch mal editieren kann gewöhnt und passe von daher jetzt auch nicht so drauf auf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Adriana,
> wäre es denn nicht wichtig, dass man sich auf eine
> definition für zahlen einigt? ...müsste man unter
> matematikern denn so etwas nicht genau angeben können?!!!
Offenbar scheint dafür keine wirkliche Notwendigkeit zu bestehen. Ist wohl so ähnlich wie mit der Frage, ob die Null eine natürliche Zahl ist oder nicht. Manche Autoren handhaben das so, andere anders. Sofern das zu Beginn des jeweiligen Artikels / Buchs mal gesagt wird, ist es ja letztlich auch egal. Schließlich geht es ja in der Mathematik nicht um Begriffe als solche, sondern um Strukturen.
Aber um auf die Sache mit den Zahlen zurückzukommen:
In der Praxis wird eine "Zahl" sowieso meist mit einem Adjektiv versehen, um dem Leser zu verdeutlichen, welche Art man gerade meint:
- natürliche Zahl
- ganze Zahl
- rationale Zahl
- reelle Zahl
- komplexe Zahl
oder auch
- Kardinalzahl
- Ordinalzahl
- hyperreelle Zahl
- surreale Zahl,
bei denen es wiederum um ganz andere Aspekte "zahlenartiger Strukturen" geht.
Nicht in obiges Schema passen hingegen die Bezeichnungen
- Quaternion
- Oktave
Dies deckt sich mit meiner *Meinung*, daß Quaternionen keine "richtigen" Zahlen mehr sind. Aber ein Experte für Quaternionen wird das bestimmt ganz anders sehen!
(Obige Listen sind übrigens mal wieder aus der Wikipedia "geklaut".)
> ich bin noch nicht ganz an der idee gewöhnt, dass ich
> nicht zurück gehen kann und es noch mal editieren kann
> gewöhnt und passe von daher jetzt auch nicht so drauf auf
Nachträgliches Editieren ist hier durchaus möglich. Habe ich bei meinem letzten Beitrag ja auch gemacht.
Grüße,
Galois
P.S.: Das war gestern ja echt heftig... ;) 30 Beiträge an einem einzigen Tag!
Bonner Mathe-Forum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Adriana |
"...in der Mathematik nicht um Begriffe als solche, sondern um Strukturen. "
eben, und aus dem grund habe ich noch eine frage, nämlich folgende:
die Zahlen (oder auch Vektoren wenn du die so nennen willst) könnte man in "hochdimensionale Räume" verfolgen. nehmen wir an man hat also eine 1 dimensionale...ebene, ..räum, fläche... wie man es nun nennen will und bricht dan einfach immer weiter hinaus. doch, wenn man dies tut verändeern sich die regeln mit dem wir angefangen haben (wie es in diese deskusion schon mehrmals erwähnt würde). ....die art und form in dem sich die regeln verändern, je mehr man sich von der 1 dimensionale ebene entfernt ..... gibt es da eine struktur?
LG,
Adriana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Adriana |
"...in der Mathematik nicht um Begriffe als solche, sondern um Strukturen. "
eben, und aus dem grund habe ich noch eine frage, nämlich folgende:
die Zahlen (oder auch Vektoren wenn du die so nennen willst) könnte man in "hochdimensionale Räume" verfolgen. nehmen wir an man hat also eine 1 dimensionale...ebene, ..räum, fläche... wie man es nun nennen will und bricht dan einfach immer weiter hinaus. doch, wenn man dies tut verändeern sich die regeln mit dem wir angefangen haben (wie es in diese deskusion schon mehrmals erwähnt würde). ....die art und form in dem sich die regeln verändern, je mehr man sich von der 1 dimensionale ebene entfernt ..... gibt es da eine struktur?
LG,
Adriana
P.S. hate dies vorher leider als mitteilung geschickt und da ich zu blöd bin um zu wisen, wie man das umändert ist es hier in form eine frage noch mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Di 25.10.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Adriana,
ich versuche mal, Deine Frage etwas umzuformulieren, damit sie zu meiner Antwort paßt. ;)
> die Zahlen (oder auch Vektoren [...]) könnte man in "hochdimensionale Räume" verfolgen. [...] [man] bricht dan einfach immer weiter hinaus. doch, wenn man dies tut verändeern sich die regeln mit dem wir angefangen haben. ....die art und form in dem sich die regeln verändern, je mehr man sich von der 1 dimensionale ebene entfernt ..... gibt es da eine struktur?
Zunächst sei hier angemerkt, daß es nicht den Weg gibt, in höhere Dimensionen "auszubrechen", also die Reihe "relle Zahlen, komplexe Zahlen,..." in eindeutiger Weise fortzusetzen. Das heißt, man müßte bei jedem Dimensionsschritt neu überlegen, welche Regeln man jetzt noch haben möchte - und anschließend nach Objekten Ausschau halten, die diese Regeln erfüllen.
Von daher ist es günstiger, von vorneherein nicht nach Regeln zu fragen, die gewisse hochdimensionale Objekte haben, sondern die Frage gewissermaßen umzudrehen: Gegeben gewisse feste Regeln - wieviele Objekte in jeder (endlichen) Dimension gibt es dann davon? Gibt es da eine Struktur?
Die Antwort auf diese Frage hängt letztlich von den jeweils betrachteten Regeln ab.
Beispiele:
- Wir nehmen zu unseren Vektoren (die Axiome für einen Vektorraum brauchen wir auf jeden Fall, damit wir von "Dimensionen" sprechen können) keine weiteren Rechenregeln hinzu.
Dann gibt es in jeder endlichen Dimension bis auf Isomorphie genau ein solches Objekt, nämlich den n-dim. Vektorraum [mm] $\IR^n$. [/mm] (Das man gleichwohl häufig sorgfältig zwischen dem [mm] $\IR^n$ [/mm] und einem beliebigen n-dim. Vektorraum unterscheiden sollte, sei hier nur am Rande bemerkt.)
- Wenn wir zusätzlich eine "vernünftige" Multiplikation fordern, also reelle Algebren betrachten, dann gibt es von Dimension zu Dimension immer mehr unterschiedliche derartige Objekte! - Man kann sich das so vorstellen, daß in höheren Dimensionen einfach mehr "Platz" zum Konstruieren vorhanden ist.
- Wenn wir nun allerdings auch noch Dividieren wollen, fordern wir plötzlich zu viel: Wie früher in der Diskussion bereits angesprochen, gibt es für relle Divisionsalgebren (mit Eins) insgesamt nur noch endlich viele Möglichkeiten.
- Wenn man statt "Rechenregeln" allgemeinere (Zusatz)Strukturen auf Vektorräumen betrachtet, gibt es auch noch Phänomene, die "zwischen" den bereits genannten liegen: Beispielsweise gibt es bei irreduziblen Spiegelungsgruppen in kleinen Dimensionen ein paar Ausnahemefälle, in höheren Dimensionen aber immer genau 4 Stück pro Dimension. (Ich glaube mich jedenfalls erinnern zu könne, daß es 4 waren...)
Ich hoffe, ich konnte Dir damit etwas weiterhelfen.
Grüße,
Galois
P.S.: Zu meinem "Vorredner" Siddharte möchte ich noch kurz bemerken, daß Quaternionen sehr wohl in der Theoretischen Physik eine nicht unbedeutende Rolle spielen: Die Einheitquaternionen versehen nämlich die [mm] $S^3$ [/mm] mit der Struktur einer Liegruppe, bei der es sich um die universelle Überlagerung der SO(3) handelt! In Hinblick auf die Diskussion des quantenmechanischen Spins ist dies durchaus praktisch...
Und die Frage der "Praktikabilität" eines Zahlenbereiches ist für theoretische Überlegungen ja ohnehin erst einmal irrelevant.
Bonner Mathe-Forum
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Der witz an neuen Zahlbereichen ist ja gerade, dass gewisse Strukturen in allen Zahlbereichen erhalten bleiben.
Die intention ist es, dass die Grundaxiome stets gewahrt bleiben.
Additiv neutrale Elemente
Multiplikativ neutrale Elemente
Assoziativität
Kommutativität
Und meine vorredner haben recht damit, dass die Komplexen Zahlen für die Naturwissenschaften völlig ausreichend sind, weil man mit ihnen praktisch jedes Problem lösen kann.
Neue Zahlbereiche müssen ja auch immer Praktikabel bleiben. Was nützt es, wenn ich ne Stunde brauche, um eine einfache Addition auszuführen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 So 23.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Adriana
Vektoren kann man darstellen als n-tupel von Zahlen. dann ist eine reelle Zahl ein 1-d Vektor, Paare von Zahlen 2-d Tripel 3-d usw. Die Regeln für ALLE diese Vektoren sind dieselben, nur im 1-d Fall sind einige so trivial, dass man sie nicht als "regeln" erkennt. Vektoren kann man i.A. addieren, es gibt etwas, was sich Skalarmultiplikation nennt und sonst einige Regeln. die sind in allen Dimensionen gleich. Aber ich kann auch Vektoren aus komplexen Zahlen machen! Und es sind nicht die Regeln die man i.A. für "normale" Zahlen hat, die für Vektoren gelten.
Aber so allgemein über was zu reden, bringt eigentlich wenig, da müsste man schon genauer drüber reden was Vektoren sind, die sind in mathe genau definiert. Bei "Zahlen" muss einzeln definiert werden, was ihre Eigenschaften sind. "natürliche" Zahlen haben andere Eigenschaften als ganze, reelle Zahlen andere als rationale usw. Jedem ist freigestellt etwa "Zahl" zu nennen mit einem Zusatz wie Adriana-Zahl, Regeln dafür zu erfinden usw. Nur ob die dann irgendjemand benutzt und sie zu was führen ist natürlich offen. mit allen "Zahlbereichserweiterungen konnte man, wie Stefan erzählt hat, was anfangen. Ob man mit Adriana-Zahlen irgendein Problem lösen kann ist offen, sobald man das aber kann stürzen sich auch andere drauf und benutzen sie!!
Wenn du dagegen die Adriana-Vektoren erfinden willst, musst du dich an Regeln für Vektoren halten!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo freya!
Die Praktika sind für Schüler ab der 11, die Kurse aber bereits ab der 9. Klasse. Du kannst dich gerne anmelden (allerdings findet heute und morgen gerade ein Kurs statt und der nächste wird wohl etwas dauern). Wenn du mir eine Mail an hartmannatcaesar.de schickst (das bitte durch @ ersetzen), dann nehme ich dich mit in meinen Verteiler auf.
Liebe Grüße
Stefan
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Du kannst dich ja auch, wie Adriana, in![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
