imaginäre zahl i < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Di 22.03.2005 | | Autor: | fidelio |
hallo alle zusammen und einen schönen sonnigen tag!
nun wiedereinmal quält mich en mathematisches problem! wie könnte es auch anders sein 
folgende aufgabe:
[mm] z^3+1=0 [/mm] ...... super dachte ich
alles zur [mm] \wurzel[3] [/mm] .... ergibt:
[mm] z=\wurzel[3]{-1}
[/mm]
[mm] z=\wurzel[3]{1}\*\wurzel[3]{-1}
[/mm]
z=i .....das ist aber falsch!!!!!! wäre ja auch zu schön gewesen oder besser zu einfach! denn z³ [mm] \gdw [/mm] 3 lösungen und ich habe nur eine!!!!
also habe ich meine hefte durchforstet und habe mir folgendes zusammen gereimt (ob richtig oder nicht - weiß ich nicht - aber ich denke ich bin auf dem richtigen weg)
[mm] z=\wurzel[3]{1}\*[cos\*(\bruch{180°}{3}+k\*\bruch{360°}{3})+i(......)]
[/mm]
3 Lösungen [mm] \gdw [/mm] k=0,1,2
aber jetzt stellt sich natürlich die frage was ist der imaginäre teil!?!?!?
kann mir da bitte jemand helfen!!!!
danke schon im voraus an das matehmatische genie!
gruß
fidelio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 22.03.2005 | | Autor: | fidelio |
kann es sein, daß folgende gleichung für z so aussehen muß?
[mm] z=\wurzel[3]{1}*[cos*(\bruch{180°}{3}+k*(\bruch{360°}{3})+i(sin*(\bruch{180°}{3}+\bruch{360°}{3})]
[/mm]
ist nur so eine idee.....
gruß
fidelio
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Hallo,
das ist die allgemeine Formel.
[mm]\begin{gathered}
x^n \; = \;z\; = \;r\;e^{i\varphi } \; = \;r\;\left( {\cos \left( \varphi \right)\; + \;i\;\sin \left( \varphi \right)} \right) \hfill \\
\Rightarrow \;x_k \; = \;\sqrt[n]{r}\;\left( {\cos \left( {\frac{{\varphi \; + \;2\;k\;\pi }}
{n}} \right)\; + \;i\;\sin \left( {\frac{{\varphi \; + \;2\;k\;\pi }}
{n}} \right)} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
( k=0...(n-1) )
für den Winkel im Gradmaß gilt entsprechendes:
[mm]x_k \; = \;\sqrt[n]{r}\;\left( {\cos \left( {\frac{{\varphi \; + \;k\;360}}
{n}} \right)\; + \;i\;\sin \left( {\frac{{\varphi \; + \;k\;360}}
{n}} \right)} \right)[/mm]
( k=0...(n-1) )
Gruß
MathePower
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Hallo.
Ich habe die Frage mal hierher verschoben, weil ich denke, daß sie keinesfalls in das Forum der Klassen 9-10 gehört.
> hallo alle zusammen und einen schönen sonnigen tag!
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> nun wiedereinmal quält mich en mathematisches problem! wie
> könnte es auch anders sein
>
> folgende aufgabe:
>
> [mm]z^3+1=0[/mm] ...... super dachte ich
>
> alles zur [mm]\wurzel[3][/mm] .... ergibt:
>
> [mm]z=\wurzel[3]{-1}
[/mm]
>
> [mm]z=\wurzel[3]{1}\*\wurzel[3]{-1}
[/mm]
> z=i .....das ist aber falsch!!!!!! wäre ja auch zu schön
> gewesen oder besser zu einfach! denn z³ [mm]\gdw[/mm] 3 lösungen und
> ich habe nur eine!!!!
richtig, das ist falsch! und zwar liegt der Fehler bei der Annahme [mm] $\wurzel[3]{-1}=i$, [/mm] denn [mm] $i^3=-i$!
[/mm]
> also habe ich meine hefte durchforstet und habe mir
> folgendes zusammen gereimt (ob richtig oder nicht - weiß
> ich nicht - aber ich denke ich bin auf dem richtigen weg)
> [mm]z=\wurzel[3]{1}\*[cos\*(\bruch{180°}{3}+k\*\bruch{360°}{3})+i(......)]
[/mm]
>
> 3 Lösungen [mm]\gdw[/mm] k=0,1,2
>
> aber jetzt stellt sich natürlich die frage was ist der
> imaginäre teil!?!?!?
>
> kann mir da bitte jemand helfen!!!!
>
> danke schon im voraus an das matehmatische genie!
>
> gruß
> fidelio
Der Ansatz ist schon gar nicht schlecht, weiter gehts in der nächszten Frage...
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