implikationen für reelle zahle < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 So 07.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
hallo, eine frage leute. ICH muss hier die allgemeingültige aussage beweisen oder widerlegen die i.a. falsche Aussage.
wollte wissen ob ich das richtig ist, was ich gerechnet habe.
1) [mm] x(x-2a^2)>0 \gdw \vmat [/mm] |x - [mm] a^2 [/mm] | [mm] >a^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] - [mm] 2xa^2>0 \gdw [/mm] |x - [mm] a^2| [/mm] > [mm] a^2
[/mm]
Sei x=5, a=3
25-2*9*5>0 [mm] \gdw [/mm] |5-9| > 9
25-90 > 0 [mm] \gdw [/mm] |-4 | > 9
-65 > 0 [mm] \gdw [/mm] 4 > 9
Also stimmt die aussage nicht.
Aber ich hab dies auch mit anderen Zahlen versucht und zwar:
Sei x=10 und a=1
100-200 > 0 [mm] \gdw [/mm] |10-1| > 1
-100 > 0 [mm] \gdw [/mm] 9 > 1
ALSO ist -100 > 0 falsche aussage und
9 > 1 wahre aussage
Welche der beiden möglichkeiten ist denn nun richtig? Woher soll ich wissen was ich einzusetzen habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
wenn man beweisen soll, dass eine Aussage allgemein gültig ist, dann muß diese Aussage ja auch für alle Zahlen gelten, auf die sie sich bezieht. Du hast keinen Definitionsbereich angegeben, also gehe ich mal davon aus, dass die Aussage für alle Zahlen gelten soll. Wenn Du nun also nur ein einziges Zahlenbeispiel findest, für das die Aussage nicht gilt, dann ist diese Aussage auch nicht mehr allgemein gültig!
Glaube, das beantwortet Deine Frage,
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mo 08.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
das problem ist ja, dass ich zeigen UND widerlegen muss, ob die aussagen stimmen oder nicht. d. h. ich muss ja beides machen. Das ist es was mich so verwirrt hat und ich bin mir nicht sicher, ob mein rechenweg so richtig ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Wessel |
Korrektur unter ![[]](/images/popup.gif) https://matheraum.de/read?i=24193
Stefan
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Mmmh,
also, dass ist für mich völlig neue Mathematik: Beweisen und Widerlegen Sie die Aussage klingt für mich nach "Beweisen Sie, dass wenn es regnet, die Sonne scheint!".
Vielleicht guckst Du noch mal auf Deinen Aufgabenzettel, denn in deinem ersten Post steht "ICH muss hier die allgemeingültige aussage beweisen oder widerlegen die i.a. falsche Aussage." Für mich liest sich das so: 1. entscheide, ob die Aussage wahr oder falsch ist, und 2. beweise dann Deine Entscheidung!
Deine Aussage ist:
Wenn [mm] $x(x-2a^2) [/mm] > 0$, dann folgt daraus nicht, dass [mm] $|x-a^2|>a^2$ [/mm] und umgekehrt.
Ich würde erst einmal gucken, welche Voraussetzungen an was geknüpft sind:
[mm] $x(x-2a^2) [/mm] >0 [mm] \gdw x^2>2a^2 \Rightarrow [/mm] x > [mm] \pm \wurzel[2]{2a^2}=\pm(a\wurzel{2})$
[/mm]
und (mit Hilfe des Quadrierens):
[mm] $|x-a^2|>a^2 \Rightarrow (x-a^2)^2 [/mm] > [mm] (a^2)^2 \gdw x^2-2xa^2+a^4>a^4 \gdw x^2-2xa^2 [/mm] > 0 [mm] \gdw x^2 [/mm] > 2a^2x [mm] \gdw x>2a^2$ [/mm]
Ok, jetzt setze ich die Ergebnisse in Deine Aussage ein:
[mm] $(x(x-2a^2)>0 \not\gdw |x-a^2|>a^2) \Rightarrow [/mm] (x > [mm] \pm(a\wurzel{2}) \not\gdw x>2a^2)$
[/mm]
und überlege:
$(x > [mm] \pm(a\wurzel{2}) \gdw x>2a^2) \gdw [/mm] ((x-x) > [mm] \pm(a\wurzel{2}) [/mm] - [mm] 2a^2)$
[/mm]
$ [mm] \gdw (0>\pm(a\wurzel{2}) [/mm] - [mm] 2a^2)$
[/mm]
Nächste Schritte sind dann: Eine Fallunterscheidung machen, überlegen, ob die Ergebnisse wahr der falsch sind und hier posten!
Gruß,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 08.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
hi stefan, du hast dir ja echt voll viel mühe mit deiner antwort gegeben. Leider ist es alles für mich sehr neu und ich kann deine schritte nicht ganz nachvollziehen, was nicht heißen soll, dass sie falsch sind. Es kann sein, dass ich die aufgabenstellung falsch verstehe, deswegen schreibe ich sie lieber nochmal auf, um fehler und missverständnisse zu vermeiden.
Aufgabe:
Stelle fest, welche der folgenden implikationen für reelle Zahlen x,a,b allgemeingültig wahr ist und welche i.a. falsch ist. Beweise die allgemeingültige aussage und widerlege die i.a. falsche aussage.
Wir haben so ne ähnliche aufgabe in der uni gemacht, aber dort war die aufgabenstellung "Beweise oder widerlege". Ich weiß nicht ob es eine rolle spielt.
die aufgabe war ab>1 und a<1 [mm] \Rightarrow [/mm] b>1
die lösung dazu war:
Sei a = -2 < 1
b = -3 > 1 f. A.
(-2 (-3) > 1 w. A. und -2 < 1 w. A.) not [mm] \Rightarrow [/mm] - 3 >1
deswegen dachte ich, dass ich es bei meiner aufgabe genauso machen solle, einfach mit zahlen einsetzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
> hi stefan, du hast dir ja echt voll viel mühe mit deiner
> antwort gegeben. Leider ist es alles für mich sehr neu und
> ich kann deine schritte nicht ganz nachvollziehen, was
> nicht heißen soll, dass sie falsch sind.
Kannst Du sagen, wo du aussteigst?
>Es kann sein, dass
> ich die aufgabenstellung falsch verstehe, deswegen schreibe
> ich sie lieber nochmal auf, um fehler und missverständnisse
> zu vermeiden.
> Aufgabe:
> Stelle fest, welche der folgenden implikationen für reelle
> Zahlen x,a,b allgemeingültig wahr ist und welche i.a.
> falsch ist. Beweise die allgemeingültige aussage und
> widerlege die i.a. falsche aussage.
Die Aufgabenstellung ist recht prosaisch, heißt aber in Kurzform: "Beweise oder Widerlege die Aussage..."
> Wir haben so ne ähnliche aufgabe in der uni gemacht, aber
> dort war die aufgabenstellung "Beweise oder widerlege". Ich
> weiß nicht ob es eine rolle spielt.
> die aufgabe war ab>1 und a<1 [mm]\Rightarrow[/mm] b>1
> die lösung dazu war:
> Sei a = -2 < 1
> b = -3 > 1 f. A.
> (-2 (-3) > 1 w. A. und -2 < 1 w. A.) not [mm]\Rightarrow[/mm] - 3
> >1
> deswegen dachte ich, dass ich es bei meiner aufgabe
> genauso machen solle, einfach mit zahlen einsetzen.
>
In Deiner Uni-Aufgabe ist es auch nicht anders gemacht worden:
Die Aussage ist:
Wenn $ab>1$ und $a<1$, dann ist $b>1$, oder in Formeln:
$ab>1 [mm] \wedge [/mm] a<1 [mm] \Rightarrow [/mm] b>1$
Ok, was habt Ihr gemacht? Ihr habt mit einem Zahlenbeispiel gezeigt, dass diese Aussage nicht allgemein gültig ist (Gegenbeispiel). Dazu habt Ihr erst einmal Zahlen genommen, die die linke Seite erfüllen:
$a=-2$ und $b=-3$ erfüllen die linke Seite der Aussage (Wir setzen das mal in die Formel ein):
$ab>1 [mm] \wedge [/mm] a<1 [mm] \Rightarrow [/mm] (-2)(-3)=6 > 1 [mm] \wedge [/mm] (-2) <1$
Nun soll daraus folgen, dass gilt: $b>1$
Nun ist aber $b=(-3)<1$.
Es wurde also ein Zahlenpaar gefunden, für das die Aussage nicht gilt. Demnach ist die Aussage nicht allgemein gültig.
Hoffe, etwas Klarheit geschaffen zu haben,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Mo 08.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
was ich wissen will ist, ob es gehen würde,dass ich das bei meiner aufgabe auch mit zahlen mache und nicht mit formel. denn da steig ich noch nicht ganz durch was du mir gezeigt hast. Wäre es richtig so wie ich das am anfang gemacht habe mit zahlen einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Di 09.11.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
Du kannst das so machen, jedoch nur dann, wenn Du durch ein Gegenbeispiel wiederlegen willst, dass die Aussage falsch ist. In Deinem Fall brauchst du also Zahlen $x,a$ für die gilt:
[mm] $x(x-2*a^2) [/mm] > 0$ und [mm] $|x-a^2| [/mm] > [mm] a^2$
[/mm]
Wenn Du ein solches Zahlenpaar gefunden hast, kannst du sagen, dass im Allgemeinen nicht gilt
[mm] $x(x-2*a^2) [/mm] > 0 [mm] \not\gdw |x-a^2| [/mm] > [mm] a^2$
[/mm]
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Di 09.11.2004 | | Autor: | Mace |
ich denke ihr rollt die sache von der falschen seite auf,
meines erachtens handelt es sich um eine allgemeingültige aussage!
jetzt muss man das "nur" noch beweisen....
mfg mace
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:29 Di 09.11.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Mace,
meines Erachtens hast Du recht... leider wurde mein Beweisansatz nicht verstanden... vielleicht hast du einen anderen? Oder kannst meinen besser erklären?
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 09.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
hey wessel, das war auf keinen fall böse gemeint mit deinem ansatz, hab das leider nur nicht ganz verstanden. Bin nicht so gut in mathe und brauch ein bisschen länger. Ich würde ganz gerne verstehen, woher du die ganzen aussagen hast, ich meine, wie bist du darauf gekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Di 09.11.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
> hey wessel, das war auf keinen fall böse gemeint mit deinem
> ansatz, hab das leider nur nicht ganz verstanden.
Das habe ich auch nicht so verstanden. Letzte Mitteilung war eher ein Hinweis an Mace, er möge doch mit diskutieren. Aus meiner Sicht hat er auch recht, dass die Aussage allgemeingültig ist. Einen Beweisansatz habe ich dazu geliefert, aber zu diesem Ansatz postet er "falsche Richtung"... Also gehe ich mal davon aus, dass er was entdeckt hat, was mir noch nicht aufgefallen ist... Aber verraten hat er es uns nicht :-(
> Ich würde ganz gerne verstehen, woher du die ganzen aussagen hast,
> ich meine, wie bist du darauf gekommen?
Einfach durch rechen! Und wenn man nachrechnet, sieht man auch den Fehler, den ich gemacht habe:
$ [mm] x(x-2a^2) [/mm] >0$ 1. Schritt: Klammer auflösen
[mm] $x^2-2xa^2>0$ [/mm] 2. Schritt: [mm] $+2xa^2$
[/mm]
[mm] $x^2>2xa^2$ [/mm] 3. Schritt: $:x$, wobei wir notieren, dass ab nun gilt [mm] $x\not=0$
[/mm]
[mm] $x>2a^2$
[/mm]
Zweite Rechnung:
$ [mm] |x-a^2|>a^2$ [/mm] 1.Schritt: Quadrieren (so bekommt man die Betragsstriche weg)
[mm] $(x-a^2)^2 [/mm] > [mm] (a^2)^2$ [/mm] 2. Schritt: Binomische Formel anwenden
[mm] $x^2-2xa^2+a^4>a^4$ [/mm] 3. Schritt: [mm] $-a^4$
[/mm]
[mm] $x^2-2xa^2 [/mm] > 0$ 4. Schritt: [mm] $+2xa^2$
[/mm]
[mm] $x^2 [/mm] > 2a^2x$ 5. Schritt: $:x$, wobei wir notieren, dass ab nun gilt [mm] $x\not=0$
[/mm]
[mm] $x>2a^2 [/mm] $
Wenn Du nun die Ergebnisse vergleichst, siehst Du, dass sich
[mm] $x(x-2a^2) [/mm] >0$ und [mm] $|x-a^2|>a^2$ [/mm] auf den gleichen Term bringen lassen, sofern [mm] $x\not= [/mm] 0$ ist. Demnach gilt:
[mm] $x(x-2a^2) [/mm] >0 [mm] \gdw |x-a^2|>a^2$, [/mm] sofern [mm] $x\not=0$
[/mm]
Nun gucken wir nach, was ist, wenn $x=0$... Das überlasse ich Dir, ok?
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Di 09.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
sorry, ich brauch echt bissl länger bis ich das geschnallt habe. Jetzt nachdem du mir jeden einzelnen schritt erklärt hast, verstehe ich auch was du meintest, aber wenn ich voraussetze dass x = 0 ist, dann kann ich die gleichung ja gar nicht zu ende führen, denn durch 0 darf man doch gar nicht teilen? Oder verstehe ich dich falsch.
eigentlich müsste ja die implikation genauso aussehen wie bei dir nur dass ich am ende nicht x = 0 sondern es gilt für x [mm] \not= [/mm] schreibe. Wenn ich dies aber tue, ist die aussage falsch oder nicht?
Dankeschön für deine mühe wessel!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:39 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
nach dem Du also nun den ersten Teil verstanden hast, nun der zweite, der so beginnt:
Sei $x=0$, dann ist die Aussage auf der linken Seite:
$ [mm] x(x-2a^2)>0$ [/mm] mit $x=0$:
[mm] $0(0-2a^2)= 0(-2a^2)=0>0$
[/mm]
Nun ist aber $0=0$ und nicht $0>0$. D.h., 0 erfüllt schon gar nicht die Voraussetzung, aus der Du dann den zweiten Teil Deiner Aussage [mm] ($|x-a^2|>a^2$) [/mm] folgern könntest.
Jetzt guckt man sich die echte Seite an (Deine Aussage ist ja eine Äquivalenzbehauptlung):
[mm] $|x-a^2|>a^2$ [/mm] mit $x=0$:
[mm] $|0-a^2|=|-a^2|=|-1|*|a^2|=a^2$ [/mm] Nun ist - gleiche Argumentation wie oben -
[mm] $a^2=a^2$ [/mm] und nicht [mm] $a^2>a^2$. [/mm]
Insgesamt folgt also, dass die Aussage für alle [mm] $x\in \IR\backslash\{0\}$ [/mm] gitl.
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mi 10.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
hey wessel dankeschön, hab das jetzt endlich gerafft!
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