implizite Eulerverfahren 1.ord < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Zyklowa |
| Aufgabe | Bei der Musterlösung verstehe ich nicht, was [mm] u(t_{i+1} [/mm] und [mm] u(t_i) [/mm] ist.
Das implizite Euler-Verfahren ist von 1. Ordnung |
Hallo
Hier die Lösung:
Das implizite Eulerverfahren hat die Form
[mm] $k_1 [/mm] = [mm] f(t_i [/mm] + [mm] c_1 [/mm] h , [mm] y_i+ha_{11} k_1)$
[/mm]
[mm] $y_{i+1} [/mm] = [mm] y_i [/mm] + h [mm] b_1 k_1,$
[/mm]
wobei [mm] $a_{11}, b_1, c_1$ [/mm] Parameter sind
Setze [mm] $c_1 [/mm] = [mm] a_{11}$
[/mm]
Taylorentwicklung für [mm] k_1 [/mm] ergibt
[mm] $k_1 [/mm] = [mm] f(t_i+c_1*h,u(t_i) [/mm] + [mm] h*a_{11}k_1) [/mm] = [mm] f+c_1*h*f_t [/mm] + [mm] h*c_1k_1 f_u [/mm] + [mm] \frac{h^2}{2}[c_1 f_{tt}+2k_1c_1^2 [/mm] + [mm] f_{tu} [/mm] + [mm] c_1^2k_1^2 f_{uu}] [/mm] + [mm] O(h^3) [/mm] $
Zum Lösen dieser impliziten Gleichung für [mm] k_1 [/mm] wird [mm] k_1 [/mm] selbst als Potenzreihe angesetzt.
[mm] $k_1 [/mm] = [mm] \alpha_0 [/mm] + [mm] \alpha_1*h+\alpha_2h^2 [/mm] + ...$
Eingesetzt
[mm] $k_1 [/mm] = [mm] \alpha_0 [/mm] + [mm] \alpha_1 [/mm] h [mm] +\alpha_2h^2 +O(h^3)$
[/mm]
$= [mm] f+c_1hf_t [/mm] + [mm] c_1h(\alpha_0+\alpha_1h)f_u [/mm] + 0.5 [mm] h^2 [c_1^2f_{tt}+2\alpha_0c_1^2 f_{tu} [/mm] + [mm] c_1^2 \alpha_0^2 f_{uu}]+O(h^3)$
[/mm]
Koeffizientenvergleich
[mm] h^0 [/mm] : [mm] $\alpha_0 [/mm] = f$
[mm] h^2: $\alpha_1 [/mm] = [mm] c_1f_t [/mm] + [mm] c_1\alpha_0f_u [/mm] = [mm] c_1 (f_t [/mm] + [mm] ff_u)$
[/mm]
[mm] h^2: $\alpha_2 [/mm] = [mm] c_1\alpha_1 f_u [/mm] + [mm] 0.5c_1^2 [f_{tt} [/mm] + [mm] 2\alpha_0 f_{tu}+\alpha_0^2 f_{uu}] [/mm] = [mm] c_1^2(f_t+ff_u) f_u [/mm] + [mm] 0.5c_1^2 [f_{tt} [/mm] + 2 [mm] ff_{tu} [/mm] + [mm] f^2f_{uu}]$
[/mm]
Für den lokalen Diskretisierungsfehler folgt daher
[mm] $u(t_{i+1}-u(t_i) [/mm] - [mm] hb_1k_1) [/mm] $
$= hf [mm] +0.5h^2(f_t+ff_u)+1/6h^3 [f_{tt}+2f_{tu}f+f^2f_{uu}+f_u(f_t+ff_u)] [/mm] - [mm] hb_1f-h^2b_1c_1(f_t+ff_u) [/mm] - [mm] h^3b_1c_1^2[0.5(f_{tt}+2f_{tu}f+f^2f_{uu})+f_u(f_t+ff_u)]+O(h^4) [/mm] $
Was ist [mm] u(t_{i+1}-u(t_i) [/mm] =
[mm] hb_1k_1 [/mm] ist doch [mm] $h*b_1 [/mm] * [mm] [f+c_1hf_t [/mm] + [mm] c_1h(\alpha_0+\alpha_1h)f_u [/mm] + 0.5 [mm] h^2 [c_1^2f_{tt}+2\alpha_0c_1^2 f_{tu} [/mm] + [mm] c_1^2 \alpha_0^2 f_{uu}]+O(h^3)]$ [/mm] (also unser Taylorentwickeltes [mm] k_1 [/mm] ; vermute ich jetzt mal)
Ich hoffe, ihr könnt mir bei dieser Misere helfen.
Grüße von
Zyklowa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zyklowa,
> Bei der Musterlösung verstehe ich nicht, was [mm]u(t_{i+1}[/mm] und
> [mm]u(t_i)[/mm] ist.
> Das implizite Euler-Verfahren ist von 1. Ordnung
> Hallo
> Hier die Lösung:
>
> Das implizite Eulerverfahren hat die Form
> [mm]k_1 = f(t_i + c_1 h , y_i+ha_{11} k_1)[/mm]
>
> [mm]y_{i+1} = y_i + h b_1 k_1,[/mm]
>
>
> wobei [mm]a_{11}, b_1, c_1[/mm] Parameter sind
>
> Setze [mm]c_1 = a_{11}[/mm]
>
> Taylorentwicklung für [mm]k_1[/mm] ergibt
>
> [mm]k_1 = f(t_i+c_1*h,u(t_i) + h*a_{11}k_1) = f+c_1*h*f_t + h*c_1k_1 f_u + \frac{h^2}{2}[c_1 f_{tt}+2k_1c_1^2 + f_{tu} + c_1^2k_1^2 f_{uu}] + O(h^3)[/mm]
>
> Zum Lösen dieser impliziten Gleichung für [mm]k_1[/mm] wird [mm]k_1[/mm]
> selbst als Potenzreihe angesetzt.
>
> [mm]k_1 = \alpha_0 + \alpha_1*h+\alpha_2h^2 + ...[/mm]
>
> Eingesetzt
>
> [mm]k_1 = \alpha_0 + \alpha_1 h +\alpha_2h^2 +O(h^3)[/mm]
>
> [mm]= f+c_1hf_t + c_1h(\alpha_0+\alpha_1h)f_u + 0.5 h^2 [c_1^2f_{tt}+2\alpha_0c_1^2 f_{tu} + c_1^2 \alpha_0^2 f_{uu}]+O(h^3)[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich
> [mm]h^0[/mm] : [mm]\alpha_0 = f[/mm]
>
> [mm]h^2:[/mm] [mm]\alpha_1 = c_1f_t + c_1\alpha_0f_u = c_1 (f_t + ff_u)[/mm]
>
> [mm]h^2:[/mm] [mm]\alpha_2 = c_1\alpha_1 f_u + 0.5c_1^2 [f_{tt} + 2\alpha_0 f_{tu}+\alpha_0^2 f_{uu}] = c_1^2(f_t+ff_u) f_u + 0.5c_1^2 [f_{tt} + 2 ff_{tu} + f^2f_{uu}][/mm]
>
> Für den lokalen Diskretisierungsfehler folgt daher
> [mm]u(t_{i+1}-u(t_i) - hb_1k_1)[/mm]
>
> [mm]= hf +0.5h^2(f_t+ff_u)+1/6h^3 [f_{tt}+2f_{tu}f+f^2f_{uu}+f_u(f_t+ff_u)] - hb_1f-h^2b_1c_1(f_t+ff_u) - h^3b_1c_1^2[0.5(f_{tt}+2f_{tu}f+f^2f_{uu})+f_u(f_t+ff_u)]+O(h^4)[/mm]
>
> Was ist [mm]u(t_{i+1}-u(t_i)[/mm] =
[mm]\blue{u\left(t_{i+1}\right)-u\left(t_{i}\right)=u\left(t_{i}+h\right)-u\left(t_{i}\right)}[/mm]
>
> [mm]hb_1k_1[/mm] ist doch [mm]h*b_1 * [f+c_1hf_t + c_1h(\alpha_0+\alpha_1h)f_u + 0.5 h^2 [c_1^2f_{tt}+2\alpha_0c_1^2 f_{tu} + c_1^2 \alpha_0^2 f_{uu}]+O(h^3)][/mm]
> (also unser Taylorentwickeltes [mm]k_1[/mm] ; vermute ich jetzt
> mal)
So isses.
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir bei dieser Misere helfen.
>
> Grüße von
> Zyklowa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Zyklowa |
Hallo liebe Leser,
hallo Mathepower. Danke erst einmal für die gutgemeinte Antwort, aber so war meine Frage dann doch nicht gemeint, da habe ich mich falsch ausgedrückt.
| Aufgabe |
zu zeigen: Das implizite Euler-Verfahren ist von 1. Ordnung
Was genau ist [mm] u(t_i+h) [/mm] = [mm] u(t_{i+1}) [/mm] bzw [mm] u(t_i). [/mm] Welchen Term muss ich dafür jeweils einsetzen?
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die Lösung noch einmal kopiert, damit man die Themen nicht wechseln muss:
Das implizite Eulerverfahren hat die Form
$ [mm] k_1 [/mm] = [mm] f(t_i [/mm] + [mm] c_1 [/mm] h , [mm] y_i+ha_{11} k_1) [/mm] $
$ [mm] y_{i+1} [/mm] = [mm] y_i [/mm] + h [mm] b_1 k_1, [/mm] $
wobei $ [mm] a_{11}, b_1, c_1 [/mm] $ Parameter sind
Setze $ [mm] c_1 [/mm] = [mm] a_{11} [/mm] $
Taylorentwicklung für $ [mm] k_1 [/mm] $ ergibt
$ [mm] k_1 [/mm] = [mm] f(t_i+c_1\cdot{}h,u(t_i) [/mm] + [mm] h\cdot{}a_{11}k_1) [/mm] = [mm] f+c_1\cdot{}h\cdot{}f_t [/mm] + [mm] h\cdot{}c_1k_1 f_u [/mm] + [mm] \frac{h^2}{2}[c_1 f_{tt}+2k_1c_1^2 [/mm] + [mm] f_{tu} [/mm] + [mm] c_1^2k_1^2 f_{uu}] [/mm] + [mm] O(h^3) [/mm] $
Zum Lösen dieser impliziten Gleichung für $ [mm] k_1 [/mm] $ wird $ [mm] k_1 [/mm] $ selbst als Potenzreihe angesetzt.
$ [mm] k_1 [/mm] = [mm] \alpha_0 [/mm] + [mm] \alpha_1\cdot{}h+\alpha_2h^2 [/mm] + ... $
Eingesetzt
$ [mm] k_1 [/mm] = [mm] \alpha_0 [/mm] + [mm] \alpha_1 [/mm] h [mm] +\alpha_2h^2 +O(h^3) [/mm] $
$ = [mm] f+c_1hf_t [/mm] + [mm] c_1h(\alpha_0+\alpha_1h)f_u [/mm] + 0.5 [mm] h^2 [c_1^2f_{tt}+2\alpha_0c_1^2 f_{tu} [/mm] + [mm] c_1^2 \alpha_0^2 f_{uu}]+O(h^3) [/mm] $
Koeffizientenvergleich
$ [mm] h^0 [/mm] $ : $ [mm] \alpha_0 [/mm] = f $
$ [mm] h^2: [/mm] $ $ [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] c_1f_t [/mm] + [mm] c_1\alpha_0f_u [/mm] = [mm] c_1 (f_t [/mm] + [mm] ff_u) [/mm] $
$ [mm] h^2: [/mm] $ $ [mm] \alpha_2 [/mm] = [mm] c_1\alpha_1 f_u [/mm] + [mm] 0.5c_1^2 [f_{tt} [/mm] + [mm] 2\alpha_0 f_{tu}+\alpha_0^2 f_{uu}] [/mm] = [mm] c_1^2(f_t+ff_u) f_u [/mm] + [mm] 0.5c_1^2 [f_{tt} [/mm] + 2 [mm] ff_{tu} [/mm] + [mm] f^2f_{uu}] [/mm] $
Für den lokalen Diskretisierungsfehler folgt daher
$ [mm] u(t_{i+1}-u(t_i) [/mm] - [mm] hb_1k_1) [/mm] $
$ = hf [mm] +0.5h^2(f_t+ff_u)+1/6h^3 [f_{tt}+2f_{tu}f+f^2f_{uu}+f_u(f_t+ff_u)] [/mm] - [mm] hb_1f-h^2b_1c_1(f_t+ff_u) [/mm] - [mm] h^3b_1c_1^2[0.5(f_{tt}+2f_{tu}f+f^2f_{uu})+f_u(f_t+ff_u)]+O(h^4) [/mm] $
Liebe Grüße
Zyklowa
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Hallo Zyklowa,
> Hallo liebe Leser,
> hallo Mathepower. Danke erst einmal für die gutgemeinte
> Antwort, aber so war meine Frage dann doch nicht gemeint,
> da habe ich mich falsch ausgedrückt.
>
>
> zu zeigen: Das implizite Euler-Verfahren ist von 1.
> Ordnung
>
> Was genau ist [mm]u(t_i+h)[/mm] = [mm]u(t_{i+1})[/mm] bzw t[mm]u(t_i).[/mm] Welchen
> Term muss ich dafür jeweils einsetzen?righ
>
Nun, [mm]u\left(t\right)[/mm] entwickelst Du in eine Taylorreihe um [mm]t_{i}[/mm], wobei
[mm]u'\left(t\right)=f\left(t,u\right)[/mm]
>
> die Lösung noch einmal kopiert, damit man die Themen nicht
> wechseln muss:
>
> Das implizite Eulerverfahren hat die Form
> [mm]k_1 = f(t_i + c_1 h , y_i+ha_{11} k_1)[/mm]
>
> [mm]y_{i+1} = y_i + h b_1 k_1,[/mm]
>
>
> wobei [mm]a_{11}, b_1, c_1[/mm] Parameter sind
>
> Setze [mm]c_1 = a_{11}[/mm]
>
> Taylorentwicklung für [mm]k_1[/mm] ergibt
>
> [mm]k_1 = f(t_i+c_1\cdot{}h,u(t_i) + h\cdot{}a_{11}k_1) = f+c_1\cdot{}h\cdot{}f_t + h\cdot{}c_1k_1 f_u + \frac{h^2}{2}[c_1 f_{tt}+2k_1c_1^2 + f_{tu} + c_1^2k_1^2 f_{uu}] + O(h^3)[/mm]
>
> Zum Lösen dieser impliziten Gleichung für [mm]k_1[/mm] wird [mm]k_1[/mm]
> selbst als Potenzreihe angesetzt.
>
> [mm]k_1 = \alpha_0 + \alpha_1\cdot{}h+\alpha_2h^2 + ...[/mm]
>
> Eingesetzt
>
> [mm]k_1 = \alpha_0 + \alpha_1 h +\alpha_2h^2 +O(h^3)[/mm]
>
> [mm]= f+c_1hf_t + c_1h(\alpha_0+\alpha_1h)f_u + 0.5 h^2 [c_1^2f_{tt}+2\alpha_0c_1^2 f_{tu} + c_1^2 \alpha_0^2 f_{uu}]+O(h^3)[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich
> [mm]h^0[/mm] : [mm]\alpha_0 = f[/mm]
>
> [mm]h^2:[/mm] [mm]\alpha_1 = c_1f_t + c_1\alpha_0f_u = c_1 (f_t + ff_u)[/mm]
>
> [mm]h^2:[/mm] [mm]\alpha_2 = c_1\alpha_1 f_u + 0.5c_1^2 [f_{tt} + 2\alpha_0 f_{tu}+\alpha_0^2 f_{uu}] = c_1^2(f_t+ff_u) f_u + 0.5c_1^2 [f_{tt} + 2 ff_{tu} + f^2f_{uu}][/mm]
>
> Für den lokalen Diskretisierungsfehler folgt daher
> [mm]u(t_{i+1}-u(t_i) - hb_1k_1)[/mm]
>
> [mm]= hf +0.5h^2(f_t+ff_u)+1/6h^3 [f_{tt}+2f_{tu}f+f^2f_{uu}+f_u(f_t+ff_u)] - hb_1f-h^2b_1c_1(f_t+ff_u) - h^3b_1c_1^2[0.5(f_{tt}+2f_{tu}f+f^2f_{uu})+f_u(f_t+ff_u)]+O(h^4)[/mm]
>
> Liebe Grüße
> Zyklowa
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:26 So 08.02.2009 | | Autor: | Zyklowa |
Hallo Mathepower,danke für die Antwort, jetz habe ich es auch verstanden.
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