implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben sei die Funktion
$f : [mm] \IR^2 \to \IR^2, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y)= [mm] e^x(cos [/mm] y, sin y)$
$a)$ Zu [mm] $(x_0,y_0)= (0,\frac{\pi}{2})$ [/mm] finde man möglichst große Umgebungen $ U$ von [mm] $(x_0,y_0) [/mm] $und$ V$ von [mm] $f(x_0,y_0),$so [/mm] dass [mm] $f|_U [/mm] : U [mm] \to [/mm] V $bijektiv ist. Geben Sie die Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}:V \to [/mm] U $explizit an.
$b)$ Dieselbe Aufgabenstellung wie in $(a)$,jedoch mit [mm] $(x_0,y_0)=(0,\pi).$ [/mm] |
Hallo erstmal hier:)
Danke für die Aufnahme!
meine Idee ist, dass ich diese Aufgabe mit hilfe des Satzes über die Implizite Funktion löse .
[mm] $f|_U [/mm] : U [mm] \to [/mm] V $ soll ja bijektive sein,dass heißt [mm] $f|_U$ [/mm] ist bijektiv $<=> [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] U [mm] \exists [/mm] ! x [mm] \in [/mm] V : [mm] f|_U(x)=y$
[/mm]
ich muss jetzt ja zeigen ,dass $1. [mm] $$f(x_0,y_0)=0 [/mm] $ mit [mm] $(x_0,y_0) \in [/mm] U [mm] \times [/mm] Y $
$2. [mm] \frac{df}{dx}, \frac{df^2}{dx^2}, \frac{df^2}{dxy}, \frac{df^2}{dyx}, \frac{df}{dy},\frac{df^2}{dy^2} [/mm] $existieren und das der zweite Teil der jacobi matrix also [mm] $\frac{df}{dy} [/mm] det [mm] \neq [/mm] 0 $ist.
ist das so richtig und wenn ja wie gehe ich das jetzt an? :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Do 15.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
Satz von der Impliziten Funktion bringt hier nichts.
Zeige, dass $ [mm] f|_U [/mm] : U [mm] \to [/mm] V $ mit [mm] $U=\mathbb [/mm] R [mm] \times (0,2\pi)$, $V=\mathbb{R}^2\setminus([0,\infty)\times \{0\})$ [/mm] bijektiv ist.
Liebe Grüße
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