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| Aufgabe | | Sei (x0,yo) [mm] \in [/mm] Rhoch2, eine Lösung der Gleichung [mm] x^{4} [/mm] + [mm] y^{4} [/mm] - 4xy= 0. Zeigen Sie, dass eine offene Umgebung U [mm] \subset [/mm] R von x0 und eine Funktion f [mm] \in C\infty [/mm] (U) existieren, so dass (x, f(x)) für jedes x [mm] \in [/mm] U die Gleichung löst. Berechnen Sie f`(x) in Abhängigkeit von x und f(x) in einer geeigneten Umgebung von xo. |
Hallo,
ich wollte heute diese Aufgabe lösen. Ich habe auch grundsätzlich kein Problem mit dem Verstehen des Satzes über implizite Funktionen. Ich kann die Ableitung etc. alles berechnen. Mein einziges Problem ist hier eine geeignete Umgebung zu finden. Denn wenn man die Ableitung nach y bildet hat man ja 2 [mm] y^{3} [/mm] - 4x da stehen und um zu zeigen, dass dies invertierbar ist, muss ich ja ausschließen, dass die Ableitung = 0 wird, aber wie das in dem Falle geht, dass noch diese beiden Variablen in der Ableitung stehen, krieg ich irgendwie nicht hin... Würd mich über Hilfe sehr freuen,
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Hallo MissPocahontas,
> Sei (x0,yo) [mm]\in[/mm] Rhoch2, eine Lösung der Gleichung [mm]x^{4}[/mm] +
> [mm]y^{4}[/mm] - 4xy= 0. Zeigen Sie, dass eine offene Umgebung U
> [mm]\subset[/mm] R von x0 und eine Funktion f [mm]\in C\infty[/mm] (U)
> existieren, so dass (x, f(x)) für jedes x [mm]\in[/mm] U die
> Gleichung löst. Berechnen Sie f'(x) in Abhängigkeit von x
> und f(x) in einer geeigneten Umgebung von xo.
> Hallo,
>
> ich wollte heute diese Aufgabe lösen. Ich habe auch
> grundsätzlich kein Problem mit dem Verstehen des Satzes
> über implizite Funktionen. Ich kann die Ableitung etc.
> alles berechnen. Mein einziges Problem ist hier eine
> geeignete Umgebung zu finden. Denn wenn man die Ableitung
> nach y bildet hat man ja 2 [mm]y^{3}[/mm] - 4x da stehen und um zu
> zeigen, dass dies invertierbar ist, muss ich ja
> ausschließen, dass die Ableitung = 0 wird, aber wie das in
> dem Falle geht, dass noch diese beiden Variablen in der
> Ableitung stehen, krieg ich irgendwie nicht hin... Würd
> mich über Hilfe sehr freuen,
Löse z.B. die Gleichung [mm]f_{y}=0[/mm] nach x auf:
[mm]f_{y}=0 \Rightarrow x= ...[/mm]
Setze dieses x in [mm]f_{x}=0[/mm] ein.
Dann erhältst Du die y-Werte
für die die Ableitung verschwindet.
Gruss
MathePower
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Das habe ich jetzt gemacht, ich erhalte dann, dass die Ableitung für y= 0 und y=1 verschwindet, ist das korrekt? Und wie kriege ich jetzt die passenden x-werte dazu? einfach schauen wann bei der funktion oben , also bei der ausgangsfunktion y = 1 und y=0 dasteht?
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Hallo MissPocahontas,
> Das habe ich jetzt gemacht, ich erhalte dann, dass die
> Ableitung für y= 0 und y=1 verschwindet, ist das korrekt?
Nach meiner Rechnung gibt es noch einen y-Wert.
> Und wie kriege ich jetzt die passenden x-werte dazu?
> einfach schauen wann bei der funktion oben , also bei der
> ausgangsfunktion y = 1 und y=0 dasteht?
Setze die y- Werte in die Bedingung,
die Du nach x aufgelöst hast, ein.
Gruss
MathePower
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ja, ich hatte -1 vergessen, richtig? in welche bedingung? also die dass x hoch 4 plus y hoch 4 -4xy gleich 0 ist?
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Hallo MissPocahontas,
> ja, ich hatte -1 vergessen, richtig? in welche bedingung?
Ja.
> also die dass x hoch 4 plus y hoch 4 -4xy gleich 0 ist?
Aus der Bedingung [mm]f_{y}=0[/mm].
Gruss
MathePower
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das heißt daraus ergibt sich ja dann, dass x= -1, x= 1 oder x= 0 ist und dass schließe ich dann bei der umgebung aus und dann passt es ;) vielleicht kannst du noch kurz sagen, ob ich die richtige Punkte gefunden hab ^^ ich danke dir.
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Hallo MissPocahontas,
> das heißt daraus ergibt sich ja dann, dass x= -1, x= 1 oder
> x= 0 ist und dass schließe ich dann bei der umgebung aus
> und dann passt es ;) vielleicht kannst du noch kurz sagen,
> ob ich die richtige Punkte gefunden hab ^^ ich danke dir.
Ja.
Nun, die in Frage kommenden Punkte mußt
Du von dieser Umgebung ausschliessen.
Ordne den y-Werten die entsprechenden x-Werte zu,
und schliesse die von der Umgebung aus.
Gruss
MathePower
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Ja, dass mit dem Ausschließen war mir klar. Ich muss jetzt hingehen und die x-Werte aus der Menge ausschließen ;) denn es geht ja um eine Umgebung von x0. Richtig?
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ich hab noch eine kurze Frage: Mit fx bezeichnest du die Ableitung nach x, richtig? weil diese Notation hatten wir noch nie verwendet...
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Hallo MissPocahontas,
> ich hab noch eine kurze Frage: Mit fx bezeichnest du die
> Ableitung nach x, richtig? weil diese Notation hatten wir
> noch nie verwendet...
Ja, mit [mm]f_{x}[/mm] bezeichne ich die partielle Ableitung von f nach x.
Gruss
MathePower
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