implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:09 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Denis92 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch die Gleichungen
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 2uv,
[mm] 0.5(x^3 [/mm] + [mm] y^3) [/mm] = [mm] v^3u^2
[/mm]
in einer Umgebung des Punktes (1,1) eine stetig differenzierbare Funktion g(x,y) = (u(x, y), v(x, y)) mit g(1, 1) = (1, 1) implizit definiert wird. Berechnen Sie die Jakobi- Matrix von g in (1, 1). |
Hallo Forum,
im zweiten Teil der Aufgabe (Jakobi-Matrix von g) hakt es bei mir leider, deshalb bitte ich um kurzes Feedback.
Hier erst Mal mein Ansatz insgesamt:
Es ist F(1,1,u(1,1),v(1,1)) = F(1,1,1,1) = [mm] \vektor{0\\0} [/mm] (1.Bedingung für Hauptsatz)
Für die Ableitung gilt:
[mm] F_{1,u} [/mm] = -2
[mm] F_{1,v} [/mm] = -2
[mm] F_{2,u} [/mm] = -2
[mm] F_{2,v} [/mm] = -3
Hierbei ist [mm] F_{1,x} [/mm] die partielle Ableitung nach x der ersten Komponentenfunktion von F.
D.h. [mm] J_F(1,1,1,1) [/mm] = [mm] \pmat{-2&-2\\-2&-3}
[/mm]
d.h. invertierbar!
Jetzt kann der Hauptsatz angewandt werden, d.h. es ex [mm] U_1\subset \IR^2, V_1 \subset IR^2, [/mm] mit (1,1) [mm] \in U_1 [/mm] (Wert für (x,y)) und (1,1) [mm] \in V_1 [/mm] (Wert für (u(1,1),v(1,1)), sowie eine eindeutige stetig diffbare Abbildung
[mm] g:\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2, [/mm] deren Wertepaare die implizite Funktion F erfüllen.
Bis hier Okay?
Jetzt wird's kritisch:
Für die Ableitung von g wissen wir: g'(x) = [mm] \frac{-\frac{\partial f}{\partial x} (x,g(x)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))} [/mm] (*) im von [mm] f:\IR^2->\IR
[/mm]
Wie mache ich das denn in meinem Fall, d.h. bei [mm] F:\IR^2->\IR^2?
[/mm]
was sind die Ableitungen aus (*) in meinem Fall?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 29.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
