in einer abelschen Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm](A, \tau)[/mm] eine abelsche Gruppe und seien [mm]x,y \in A[/mm].
Zeigen Sie dass für alle [mm]n\in \IZ[/mm] gilt:
[mm](x \tau y)^n = x^n \tau y^n[/mm] |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
N'abend,
irgendwie weiss ich nicht genau wie ich das beweisen soll, ich seh das zwar direkt, kommt aber irgendwie nicht weiter.
Ich habe mir gedacht ich wähle erst mal feste x,y aus A mit A ungleich der leeren Menge.
Dann hab ich mir überlegt da es Verknüpfungen sind kann ich ja auch einfach die Potenzregeln anwenden, dann wäre ich aber sofort am Ziel und hätte nichts bewiesen.
DAnn hab ich mir überlegt ich beweis das damit das [mm](x \tau y)^n[/mm] die selbe Abbildung hat wie [mm]x^n \tau y^n[/mm]
[mm]\forall x,y \in A : (x \tau y)^n [/mm]
hier weiss ich nicht genau weiter, ich hätte hier das jetzt einfach weiter aufgeteilt, aber darf man das hier überhaupt?
[mm](\forall x,y \in A : x^n) \tau ( \forall x,y \in A : y^n)[/mm]
[mm]x^n \tau y^n[/mm]
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Di 06.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Mareike
> Sei [mm](A, \tau)[/mm] eine abelsche Gruppe und seien [mm]x,y [mm]\in A[/mm].[/mm]
Zeigen Sie dass für alle [mm][mm]n\in \Z[/mm][/mm] gilt:
> [mm](x [mm]\tau y)^n[/mm] = [mm]x^n \tau y^n[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]N'abend, [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]irgendwie weiss ich nicht genau wie ich das beweisen soll, ich seh das zwar direkt, kommt aber irgendwie nicht weiter.[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Ich habe mir gedacht ich wähle erst mal feste x,y aus A mit A ungleich der leeren Menge.[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Dann hab ich mir überlegt da es Verknüpfungen sind kann ich ja auch einfach die Potenzregeln anwenden, dann wäre ich aber sofort am Ziel und hätte nichts bewiesen.[/mm][/mm][/mm]
Welche Potenzregel denn? Die, die du gerade beweisen sollst? (In nicht-abelschen Gruppen ist die Aussage z.B. im Allgemeinen falsch!)
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]DAnn hab ich mir überlegt ich beweis das damit das [mm](x \tau y)^n[/mm] die selbe Abbildung hat wie [mm]x^n \tau y^n[/mm][/mm][/mm][/mm]
Was meinst du mit ``die selbe Abbildung hat''?
> [mm][mm][mm] [mm]\forall x,y \in A : (x \tau y)^n[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] hier weiss ich nicht genau weiter, ich hätte hier das jetzt einfach weiter aufgeteilt, aber darf man das hier überhaupt?[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [mm](\forall x,y \in A : x^n) \tau ( \forall x,y \in A : y^n)[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [mm]x^n \tau y^n[/mm][/mm][/mm][/mm]
Was meinst du damit? Du scheint mit dem [mm] $\forall$ [/mm] noch nicht sonderlich vertraut zu sein; das ist ein praedikatenlogisches Symbol und kann nicht ``einfach so'' mitten in Formeln gebraucht werden.
Versuch die Aufgabe doch per Induktion nach $n$ zu loesen: fuer $n = 1$ ist's ja klar. Und fuer $n > 1$ zeigst du es, indem du nur die Eigenschaften der Gruppenoperation (also Assoziativitaet und Kommutativitaet) verwendest.
LG Felix
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Hi,
erstmal danke für deinen Tipp.
Ich meinte das mit den Abbildungen so, dass wenn auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen das gleiche steht, das wenn man die Seiten einzelt betrachtet, sie eine Abbildung auf A haben. Wenn diese Abbildung gleich ist auf beiden Seiten müsste auch diese Aussage stimmen.
Mein Problem dabei war das ich nicht wirklich weiss wie ich mit den Gruppen umgehen darf. Also ich weiss schon welche Gesetze gelten, aber ich weiss nicht genau wann/wie ich sie andwenden soll. Ich hab das jetzt erstmal mit der vorgeschlagenen Induktion versucht:
Mein Indduktionsanfang ist:
[mm]x\tau y)^1 = x^1 \tau y^1[/mm]
[mm]\Rightarrow x\tau y = x\tau y[/mm]
Induktionsschluss
[mm](x\tau y)^{n+1}=2*(x\tau y)^n = (x\tau y)^n*(x\tau y)^n = ?[/mm]
Wahrscheinlich sieht man schon das ich einfach ein mal Zeichen dahingesetzt hab, welches bestimmt nicht dahin gehört. Muss da ein tau hin?
Mein zweiter Versuch, sah dann wie folgt aus:
[mm]x^{n+1} \tau y^{n+1} \gdw 2x^n \tau 2y^n[/mm]
[mm]\gdw x^n \tau x^n \tau y^n \tau y^n[/mm]
Kommutativgesetz angewendet
[mm]\gdw x^n \tau y^n \tau x^n \tau y^n[/mm]
[mm]\gdw (x\tau y)^n \tau (x\tau y)^n[/mm]
[mm]\Rightarrow (x\tau y)^{n+1}[/mm]
Grüße,
Mareike
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Di 06.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Mareike!
> Mein Induktionsanfang ist:
> [mm]x\tau y)^1 = x^1 \tau y^1[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\tau y = x\tau y[/mm]
Das ist die falsche Schlußrichtung, man muß vom Bekannten/Richtigen zu dem, was man beweisen will, hier also von unten nach oben.
Für den Ind.-anfang ist zu zeigen
[mm] (x\tau y)^{1} [/mm] = [mm] x^{1} \tau y^{1}
[/mm]
Nun bedeutet aber vereinbarungsgemäß der Exponent 1 'Laß alles, wie es ist', also ist in dieser Gl. die linke Seite = [mm] x\tauy [/mm] und die rechte Seite auch gleich [mm] x\tauy, [/mm] also sind tatsächlich beide Seiten gleich.
> Induktionsschluss
> [mm](x\tau y)^{n+1}=2*(x\tau y)^n = (x\tau y)^n*(x\tau y)^n = ?[/mm]
Wo kommt denn hier die 2 her? Es ist doch
[mm] (x\tau y)^{n+1} [/mm] = [mm] (x\tau y)^{n}\tau(x\tau y)^{1}
[/mm]
und auf der rechten Seite kannst du für den ersten Term die Ind.-voraussetzung benutzen. Dann kannst du weiter umformen und dich zur gewünschten Gleichheit vorarbeiten.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ah okay, danke dir. Dann hab ich jetzt die positive Seite und die 0 kann ich ja auch einfach einsetzen.
also [mm](x\tau y)^0 = x^0 \tau y^0[/mm]
Aber wie zeig ich das mit den negativen Zahlen.
Darf ich das auch so machen wie bei der Induktion. Ich zeig das es für -1 gilt und dann auch jeweils für den Vorgängern, ist das erlaubt?
Grüße,
Mareike
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Mi 07.11.2007 | | Autor: | statler |
> Ah okay, danke dir. Dann hab ich jetzt die positive Seite
> und die 0 kann ich ja auch einfach einsetzen.
> also [mm](x\tau y)^0 = x^0 \tau y^0[/mm]
> Aber wie zeig ich das mit
> den negativen Zahlen.
Das hängt davon ab, wie [mm] x^{-n} [/mm] definiert ist. Ist es die n-te Potenz des Inversen, also [mm] (x^{-1})^{n} [/mm] oder das Inverse der n-ten Potenz, also [mm] (x^{n})^{-1}. [/mm] Im Prinzip ist es auch egal, weil die beiden gleich sind. Wenn dir das aus der Vorlesung bekannt ist, du das also voraussetzen kannst, dann ist es eierleicht:
(x [mm] \tau y)^{-n} [/mm] = ((x [mm] \tau y)^{-1})^{n} [/mm] = [mm] (x^{-1} \tau y^{-1})^{n} [/mm] = [mm] (x^{-1})^{n} \tau (y^{-1})^{n} [/mm] = [mm] x^{-n} \tau y^{-n}
[/mm]
Versuch du mal bitte, jeden Schritt hier genau zu begründen, das gehört zu einem Beweis.
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