indiekrete, diskrete Toplogie < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | In unserem Skript:
Sei X [mm] \not= \emptyset. [/mm] Dann sind [mm] {X,\emptyset} [/mm] und P(X) Topolgien auf X. Sie heißen indiskrete (gröbste) bzw. diskrete (feinste) Topologie. |
Was ist P(X)...die Menge aller Teilmengen?
Ist [mm] {X,\emptyset} [/mm] die indiskrete Metrik?
P(X) die diskrete Metrik?
Was kann man sich drunter vorstellen? Warum nennt man die indiskrete Metrik
gröbste bzw. die diskrete Metrik feinste?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> In unserem Skript:
> Sei X [mm]\not= \emptyset.[/mm] Dann sind [mm]\{X,\emptyset\}[/mm] und P(X)
> Topolgien auf X. Sie heißen indiskrete (gröbste) bzw.
> diskrete (feinste) Topologie.
> Was ist P(X)...die Menge aller Teilmengen?
Genau.
> Ist [mm]\{X,\emptyset\}[/mm] die indiskrete Metrik?
> P(X) die diskrete Metrik?
Wenn du Metrik durch Topologie ersetzt, ist das beides richtig.
> Was kann man sich drunter vorstellen? Warum nennt man die
> indiskrete Metrik
> gröbste bzw. die diskrete Metrik feinste?
Metrik bitte durch Topologie ersetzen.
Nun, bei der diskreten Topologie ist jede Menge offen, und jede Funktion von $X$ in irgendeinen anderen topologischen Raum ist stetig. (Siehe die Definition von stetig fuer topologische Raeume in deiner anderen Frage.)
Die indiskreten Topologie hat dagegen die kleinste Anzahl von offenen Mengen: Nur die leere Menge und der ganze Raum selber. Eine Funktion von dem Raum mit der indiskreten Topologie in irgendeinen anderen topologischen Raum ist notwendigerweise konstant, wenn sie stetig sein soll.
Wenn du irgendeine beliebige Topologie [mm] $\tau$ [/mm] auf $X$ nimmst, dann gilt [mm] $\{ \emptyset, X \} \subseteq \tau \subseteq [/mm] P(X)$: Also ist [mm] $\tau$ [/mm] irgendwo zwischen der diskreten und der indiskreten Topologie! Da die indiskrete weniger offene Mengen hat, kann man sie als groeber bezeichnen, und da die diskrete (viel) mehr offene Mengen hat, kann man sie als feiner bezeichnen. Und weil sie jeweils die extremsten Faelle sind, bezeichnet man sie als feinste bzw. groebste Topologie.
Hilft dir das ein wenig?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo....danke du hast mir schon sehr weitergeholfen....
Nun, bei der diskreten Topologie ist jede Menge offen, und jede Funktion von X in irgendeinen anderen topologischen Raum ist stetig. (Siehe die Definition von stetig fuer topologische Raeume in deiner anderen Frage.)
Warum weiß man dass so sicher dass jede Funktion von X in irgendeinen anderen topologischen Raum stetig ist?
mfg,
Hannes
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Hallo.
In topologischen Räumen gibt es eine andere Charakterisierung von Stetigkeit als über ein [mm] $\varepsilon-\delta-$Kriterium, [/mm] die aber äquivalent dazu ist, nämlich:
Seien [mm] $(X_1,\mathcal T_1)$, $(X_2,\mathcal T_2)$ [/mm] topologische Räume, [mm] $f:X_1\to X_2$.
[/mm]
Dann ist
$f$ stetig [mm] $\gdw \forall M\in \mathcal T_2: [/mm] \ [mm] f^{-1}(M)\in \mathcal T_1$.
[/mm]
Sprich: $f$ ist stetig genau dann, wenn Urbilder offener Mengen offen sind.
Um zur Situation Deiner Fragestellung zu gelangen, muß nun [mm] $X_1$ [/mm] mit der diskreten Topologie versehen werden, also [mm] $\mathcal T_1=\mathcal P(X_1)$.
[/mm]
Dann ist aber auch, da trivialerweise $\ [mm] f^{-1}(M)\subset X_1$,
[/mm]
[mm] $f^{-1}(M)\in P(X_1)=\mathcal T_1$, [/mm] also $f$ stetig.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo...
f stetig $ [mm] \gdw \forall M\in \mathcal T_2: [/mm] \ [mm] f^{-1}(M)\in \mathcal T_1 [/mm] $
$ [mm] f^{-1}(X_1)\in P(X_1)=\mathcal T_1 [/mm] $
[mm] X_{1} [/mm] ist aber nicht in [mm] T_2 [/mm] sondern in [mm] T_1 [/mm] also komm ich mit deiner Schlussfolgerung nicht so recht klar....
mfg,
Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Christian |
Hab mich vertippt.
Siehe korrigierte Fassung.
Entschuldige.
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