induktion ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 So 02.11.2008 | | Autor: | watson |
| Aufgabe | beweisen sie mittels vollständiger induktion:
für jedes beliebige [mm] n\in \IN [/mm] gilt n > 1
[mm] \Rightarrow 4^n [/mm] / n + 1 < (2n)!/(n!)² |
hallo,
habe gerade die vorherige aufgabe gelöst. ging im gegensatz zu dieser gut von der hand. hier ist lediglich der induktionsanfang klar, bezüglich des induktionsschlusses hab ich nicht die leiseste ahnung. könnte mir jemand einen tipp geben?
n + 1 > 1 [mm] \Rightarrow
[/mm]
danke im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 02.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
> beweisen sie mittels vollständiger induktion:
> für jedes beliebige [mm]n\in \IN[/mm] gilt n > 1
> [mm]\Rightarrow 4^n[/mm] / n + 1 < (2n)!/(n!)²
> hallo,
> habe gerade die vorherige aufgabe gelöst. ging im
> gegensatz zu dieser gut von der hand. hier ist lediglich
> der induktionsanfang klar, bezüglich des
> induktionsschlusses hab ich nicht die leiseste ahnung.
> könnte mir jemand einen tipp geben?
>
> n + 1 > 1 [mm]\Rightarrow[/mm]
Du musst zeigen, dass
[mm] \bruch{4^{n+1}}{(n+1)+1)}<\bruch{(2(n+1))!}{((n+1)!)²}
[/mm]
Und hier würde ich "von hinten" anfangen:
[mm] \bruch{(2(n+1))!}{((n+1)!)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2(n+1))*(2n)!}{(n+1)²*(n!)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2(n+1))}{(n+1)²}*\bruch{(2n)!}{(n!)²}
[/mm]
[mm] >\bruch{(2(n+1))}{(n+1)²}*\bruch{4^{n}}{(n+1)}
[/mm]
>/= ....
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 02.11.2008 | | Autor: | watson |
zunächst danke für die schnelle antwort, die induktionsbehauptung ist geklärt. tut mir leid das ich mich so dämlich anstelle jedoch kann ich die von dir ausgeführten umformungsschritte (insbesondere den ersten) nicht nachvollziehen. könntest du das kurz erläutern?
$ [mm] \bruch{(2(n+1))!}{((n+1)!)²} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{(2(n+1))\cdot{}(2n)!}{(n+1)²\cdot{}(n!)²} [/mm] $
vielen dank für jegliche hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 So 02.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Watso!
Da hat sich bei M.Rex ein kleienr Fehler eingeschlichen bei der Umformung im Zähler.
Aber du musst hier lediglich die Definition der Fakultät anwenden:
$$n! \ = \ (n-1)!*n \ = \ 1*2*3*...*(n1)*n$$
[mm] $$\bruch{[2*(n+1)]!}{[(n+1)!]^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n+2)!}{[n!*(n+1)]^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)}{(n!)^2*(n+1)^2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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